Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)

[Imaginarium]

svv в сообщении #1388167 писал(а):

И если мы все эти вещи, о которых я говорил, уже знаем, то вычисление выглядит так:
$j_{i,i}=(\varepsilon_{ijk}m_j f_{,k})_{,i}=\varepsilon_{{\color{magenta}i}j{\color{magenta}k}}m_j f_{,{\color{magenta}ki}}=0$

Imaginarium в сообщении #1388160 писал(а):

Есть еще предложение сделать через тензорное представление дифференциала функции $f$, тогда, дифференцируя по $r$ можно добиться желаемого.

Обратите внимание, что мы доказали общий факт: наша дивергенция нулевая независимо от того, как $f$ зависит от координат.

Imaginarium в сообщении #1388160 писал(а):

И по-простому, из википедийной статьи с операторными соотношениями взять $\operatorname{div}\ (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot \operatorname{rot}\ \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \operatorname{rot}\ \mathbf{B}$ и получить тоже ноль

Да, можно воспользоваться готовой формулой.

Imaginarium в сообщении #1388160 писал(а):

Вы не могли бы подсказать литературу по тензорному исчислению, которую действительно бы стоило с карандашом в руках прорешать?

К сожалению, не подскажу — есть много книг, но я не рискну выбрать из них «самую-самую». Но, уверен, Вам подскажут другие участники. Вам, как я понимаю, надо «с физическим уклоном».

Давайте теперь попробуем более спокойный метод. При этом лаконичные обозначения для частных производных сохраним.
$\nabla f=(f_{,1}\,, f_{,2}\,, f_{,3})$
$\mathbf m\times\nabla f=\begin{vmatrix}\mathbf e_1 &\mathbf e_2&\mathbf e_3\\m_1&m_2&m_3\\f_{,1}&f_{,2}&f_{,3}\end{vmatrix}=(m_2 f_{,3}-m_3 f_{,2}\,,m_3 f_{,1}-m_1 f_{,3}\,,m_1 f_{,2}-m_2 f_{,1})$
Я выписал явно компоненты вектора $\mathbf m\times\nabla f$. Пожалуйста, покажите, что его дивергенция равна нулю. Дифференцирование будет несложным, потому что $m_i$ константы.

С удовольствием попробую, но у меня сразу вопрос: чему будет равен в координатном представлении, например $f_{,3\color{magenta}1}$? Если я не знаю конкретного вида функции $f$, то на что мне нужно умножать $f'$? Я понимаю логику, но мне трудно перейти от абстрактной функции $f$ к конкретному виду производно через дифференциал.
Пока имею только:

$$\operatorname{div}(\mathbf m\times\nabla f) = \left( (m_2 f_{,3\color{magenta}1}-m_3 f_{,2\color{magenta}1})+ (m_3 f_{,1\color{magenta}2}-m_1 f_{,3\color{magenta}2})+(m_1 f_{,2\color{magenta}3}-m_2 f_{,1\color{magenta}3}) \right) = $$

$$ = m_2(f_{,3\color{magenta}1}- f_{,1\color{magenta}3})+m_3(f_{,2\color{magenta}1} - f_{,1\color{magenta}2}) + m_1(f_{,2\color{magenta}3}-f_{,3\color{magenta}2}) \eqno(1)$$

[arseniiv]

Imaginarium в сообщении #1388173 писал(а):

чему будет равен в координатном представлении, например $f_{,3\color{magenta}1}$?

$\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x}f$ ($z$ третья координата, $x$ первая). Сравните с формулой

svv в сообщении #1388167 писал(а):

$\nabla f=(f_{,1}\,, f_{,2}\,, f_{,3})$

— градиент ведь имеет координатами частные производные.

[Munin]

Если с.к. не декартова, то $\tfrac{\partial}{\partial x^3}\tfrac{\partial}{\partial x^1}f.$

Вообще нотация с запятыми описана много где, но если она вам непривычна - используйте привычную вам. $f_{,i}=\tfrac{\partial}{\partial x^i}f=\partial_i f.$ Только небольшая разница в компактности. Лучше писать так, как вы меньше запутаетесь. (Лично мне запятая "даже слишком компактна", я предпочитаю вариант $\partial_i f.$)

[svv]

Imaginarium в сообщении #1388173 писал(а):

Пока имею только

Так а разве Вы не видите, что каждая скобка в (1) равна нулю?

[Imaginarium]

svv в сообщении #1388218 писал(а):

Imaginarium в сообщении #1388173 писал(а):

Пока имею только

Так а разве Вы не видите, что каждая скобка в (1) равна нулю?

Где мои глаза?? Что-то я залип - ну конечно, порядок дифференцирования в частных производных не имеет значения, если они дифференцируются по одним и тем же переменным - и вычитаясь, обнуляют скобки! Просто смотрел сквозь и думал про дифференциалы.
Мне стыдно.
Огромное спасибо за помощь.


Для справки, тем кто будет искать литературу по тензорам: одна из хороших, не единственная, но очень приличная - Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: В 2-х ч. Ч. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1986.

[svv]

Упомяну ещё один способ:
1) Доказать или взять из справочника, что если вектор $\mathbf m$ постоянный, то $\mathbf m\times\operatorname{grad}f=\operatorname{rot}(\mathbf m f)$ (может быть, со знаком минус).
2) Дивергенция ротора равна нулю.