2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение16.04.2019, 13:48 


12/06/11
102
СПб
Здравствуйте.
Пытаюсь на скорую руку доказать, как мне кажется, простенькое соотношение:
$$\operatorname{div}(\vec{j}_{mag}) = 0 \text{, где } \vec{j}_{mag} = -c \vec{m}\times \nabla f(|\vec{r} - \vec{R}|)$$
Решаем:
про $f$ ничего конкретного не сказано, и я, наверное, могу считать ее просто столбцом $\left(\begin{array}{crl} x-X\\y-Y\\z-Z \end{array}\right)$.
Тогда имеем следующее векторное произведение: $$\left(\begin{array}{crl} m_x\\m_y\\m_z \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{crl} x-X\\y-Y\\z-Z \end{array}\right) = (m_y(z-Z)-m_z(y-Y))-(m_x(z-Z)-m_z(x-X))+(m_x(y-Y)-m_y(x-X)) = $$
$$ =m_y((z-Z)-(x-X)) - m_z((y-Y)+(x-X)) - m_x((z-Z)-(y-Y))$$. Соответственно, в последней строке я считаю первое слагаемое теперь $F_y$, второе будет $F_z$, а $F_x$ - третье слагаемое. И, конечно, скобки дадут нули в частных производных для дивергенции, даже если группировать относительно скобок, а не относительно компонентов $\vec{m}$. Я прав, задача тривиальна? Или тут есть подвох? Условие задачи я воспроизвел в точности.

Спасибо.

UPD: я забыл про градиент, но, как я понимаю, он мало что добавит:
$$\nabla f(|\vec{r} - \vec{R}|) = \left(\begin{array}{crl} \partial_x f(x-X)\\ \partial_y f(y-Y)\\ \partial_z f(z-Z) \end{array}\right)$$ тогда перепишем:
$$\left(\begin{array}{crl} m_x\\m_y\\m_z \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{crl} \partial_x f(x-X)\\ \partial_y f(y-Y)\\ \partial_z f(z-Z) \end{array}\right) = m_y(\partial_z f(z-Z)-\partial_x f(x-X)) -$$
$$ -m_z(\partial_y f(y-Y)+\partial_x f(x-X)) - m_x f(\partial_z(z-Z)-\partial_y f(y-Y))$$ причем $\partial_a f(a-A) = 1$ насколько я понимаю, и все равно в дивергенции будет ноль из суммы нулей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение16.04.2019, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
7481
Imaginarium в сообщении #1388046 писал(а):
про $f$ ничего конкретного не сказано, и я, наверное, могу считать ее просто столбцом

Из того, что не сказано, нельзя что-то считать.
Более того, это скалярная функция, что видно по постановке задачи.
Скалярная функция скалярного аргумента.
Вот и берите произвольную такую $f$, считайте градиент и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение16.04.2019, 14:25 
Заслуженный участник


23/07/08
7879
Харьков
Какие средства можно использовать? Скажем, в тензорной записи это получается моментально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение16.04.2019, 14:32 


12/06/11
102
СПб
svv в сообщении #1388051 писал(а):
Какие средства можно использовать? Скажем, в тензорной записи это получается моментально.

Спасибо за ответ. Любыми можно, пока не могу сообразить, как тут тензоры использовать...

-- 16.04.2019, 15:36 --

Otta в сообщении #1388049 писал(а):
Imaginarium в сообщении #1388046 писал(а):
про $f$ ничего конкретного не сказано, и я, наверное, могу считать ее просто столбцом

Из того, что не сказано, нельзя что-то считать.
Более того, это скалярная функция, что видно по постановке задачи.
Скалярная функция скалярного аргумента.
Вот и берите произвольную такую $f$, считайте градиент и т.д.

Здравствуйте, Otta, спасибо за ответ, уже увидел и исправил, записал градиент, но вроде бы он ничего не добавляет содержательного...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение16.04.2019, 14:51 
Заслуженный участник


23/07/08
7879
Харьков
Удобно индекс, возникающий от дифференцирования по координате, писать после запятой. Это даёт очень компактную запись:
$\mathbf a=\operatorname{grad} f$ запишется как $a_i=f_{,i}$
$\operatorname{div}\mathbf j$ запишется как $j_{i, i}$
Как записать векторное произведение $\mathbf j=\mathbf m\times\mathbf a$ с помощью символов Леви-Чивита, знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение16.04.2019, 15:08 


12/06/11
102
СПб
svv в сообщении #1388055 писал(а):
Удобно индекс, возникающий от дифференцирования по координате, писать после запятой. Это даёт очень компактную запись:
$\mathbf a=\operatorname{grad} f$ запишется как $a_i=f_{,i}$
$\operatorname{div}\mathbf j$ запишется как $j_{i, i}$
Как записать векторное произведение $\mathbf j=\mathbf m\times\mathbf a$ с помощью символов Леви-Чивита, знаете?

Ох, сразу сообразить сложно, но наверное, $\mathbf m\times\mathbf a = \sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2 m_i a_j \varepsilon_{ij}\mathbf{e}_i$ ? Неправильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение16.04.2019, 15:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2475
СПб
Imaginarium в сообщении #1388057 писал(а):
но наверное

у ЛЧ три индекса, суммирование по парам индексов

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение16.04.2019, 15:22 
Заслуженный участник


23/07/08
7879
Харьков
$j_i=\varepsilon_{ijk}m_j a_k$ (я опускаю непринципиальный множитель $-c$).
В тензорной записи используйте соглашение о суммировании Эйнштейна (на различие верхних и нижних индексов не обращайте внимание).
Символ Леви-Чивита (правильнее ...-Чивиты) имеет столько индексов, какова размерность пространства. Он антисимметричен по любой паре индексов (это чуть позже и даст нуль).

Теперь у Вас достаточно информации, чтобы записать дивергенцию тока.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение16.04.2019, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2475
СПб
и суммирование до 3

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение16.04.2019, 17:15 


12/06/11
102
СПб
alcoholist в сообщении #1388063 писал(а):
и суммирование до 3

Точно, спасибо. То, что я написал - глупость, и правильный вариант для Леви-Чивиты: $\mathbf{m} \times \mathbf{a} = \sum^3_{i=1}\sum^3_{j=1}m_ia_j\varepsilon_{ijk}\mathbf{e}_k$

-- 16.04.2019, 18:30 --

svv в сообщении #1388062 писал(а):
$j_i=\varepsilon_{ijk}m_j a_k$ (я опускаю непринципиальный множитель $-c$).
В тензорной записи используйте соглашение о суммировании Эйнштейна (на различие верхних и нижних индексов не обращайте внимание).
Символ Леви-Чивита (правильнее ...-Чивиты) имеет столько индексов, какова размерность пространства. Он антисимметричен по любой паре индексов (это чуть позже и даст нуль).

Теперь у Вас достаточно информации, чтобы записать дивергенцию тока.


Спасибо большое. Пытаюсь привыкнуть к Вашим обозначениям с запятой (нашел только на англоязычных ресурсах подобное), у меня получается примерно такое:
если $\mathbf{m}\times\nabla f = \varepsilon_{ijk} m_j \nabla f_k = \varepsilon_{ijk} m_j f_{,ki}$, то $\operatorname{div}(\mathbf{m}\times\nabla f) =\varepsilon_{ijk} m_j f_{i,ik}$. Так же можно писать: $ f_{i,ik}$? Чтобы символ Леви-Чивиты попревращался в нули всюду, в нем тоже должны быть повторяющиеся индексы? (я пытаюсь понять, как это очевидным образом записать в нотации с запятыми в индексах).
Кстати, насчет замечаний выше - а что мешает иметь символ Леви-Чивиты в 2D? С двумя индексами? Он ведь не перестает быть от этого абсолютно антисимметричным единичным тензором.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение16.04.2019, 18:47 
Заслуженный участник


23/07/08
7879
Харьков
Для первого раза неплохо. Замечания:

1) Возьмём какой-нибудь вектор $\mathbf a$. Cимвол $\mathbf a$ обозначает сам вектор, как геометрический объект. Мы можем разложить его по базисным векторам $\mathbf e_i$, получим $\mathbf a=a_i\mathbf e_i$. Коэффициенты разложения $a_i$ называются координаты, или компоненты вектора.

В компонентной (индексной) записи мы опускаем базисные векторы и представляем векторы и тензоры набором компонент. Соответственно, вместо $\mathbf c=\mathbf a+\mathbf b$ пишем не $c_i\mathbf e_i=a_i\mathbf e_i+b_i \mathbf e_i$, а $c_i=a_i+b_i$. Многие люди, которые интенсивно пользуются индексной записью, воспринимают сам набор компонент $c_i$ (или $g_{ik}$), как символ вектора (тензора), с некоторым на то основанием.

Нехорошо смешивать оба способа записи (так, чтобы левая часть выражала вектор или тензор в безиндексной записи, а правая — в виде набора компонент, вроде $\mathbf c=a_i+b_i$). Законные способы связать безиндексные и индексные обозначения:
$\mathbf c=(a_i+b_i)\mathbf e_i$
$c_i=(\mathbf a+\mathbf b)_i$

2) Вы лишний раз продифференцировали.
$f$ — это скалярное поле, $f_{,k}$ — это уже градиент $f$ (точнее, набор его компонент, см. оговорку выше). Соответственно, оператор $\nabla$ там уже не нужен. Пожалуйста, исправьте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение16.04.2019, 19:15 


12/06/11
102
СПб
svv в сообщении #1388109 писал(а):
Для первого раза неплохо. Замечания:

1) Возьмём какой-нибудь вектор $\mathbf a$. Cимвол $\mathbf a$ обозначает сам вектор, как геометрический объект. Мы можем разложить его по базисным векторам $\mathbf e_i$, получим $\mathbf a=a_i\mathbf e_i$. Коэффициенты разложения $a_i$ называются координаты, или компоненты вектора.

В компонентной (индексной) записи мы опускаем базисные векторы и представляем векторы и тензоры набором компонент. Соответственно, вместо $\mathbf c=\mathbf a+\mathbf b$ пишем не $c_i\mathbf e_i=a_i\mathbf e_i+b_i \mathbf e_i$, а $c_i=a_i+b_i$. Многие люди, которые интенсивно пользуются индексной записью, воспринимают сам набор компонент $c_i$ (или $g_{ik}$) как символ вектора (тензора), с некоторым на то основанием.

Нехорошо смешивать оба способа записи (так, чтобы левая часть выражала вектор или тензор в безиндексной записи, а правая — в виде набора компонент, вроде $\mathbf c=a_i+b_i$). Законные способы связать безиндексные и индексные обозначения:
$\mathbf c=(a_i+b_i)\mathbf e_i$
$c_i=(\mathbf a+\mathbf b)_i$

2) Вы лишний раз продифференцировали.
$f$ — это скалярное поле, $f_{,k}$ — это уже градиент $f$ (точнее, набор его компонент, см. оговорку выше). Соответственно, оператор $\nabla$ там уже не нужен. Пожалуйста, исправьте.


Спасибо. Исправить не могу, но могу переписать (насколько я это понимаю, все еще остается вопрос про законность $f_{i,k}$ ):
$$\mathbf{m}\times\nabla f = \varepsilon_{ijk} m_j  f_{,k}$$

тогда $$\operatorname{div}(\mathbf{m}\times\nabla f) = \varepsilon_{ijk} m_j f_{i,k}$$
но как тут организовать повторяющиеся индексы в символе Леви-Чивиты -- совершенно не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение16.04.2019, 19:32 
Заслуженный участник


23/07/08
7879
Харьков
Правильно. :-)
Так как оба индекса у $f$ получились дифференцированием, принято писать оба после запятой: $f_{,ik}$. Это подчёркивает симметричность:
$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_k}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_k \partial x_i}$, или в нашей записи $f_{,ik}=f_{,ki}$.

Теперь смотрите, какой трюк. У нас в правую часть входит $\varepsilon_{ijk}f_{,ik}$. Мы можем переименовать $i$ в $k$ и одновременно переименовать $k$ в $i$, это ни на что не повлияет (если это трудно понять, запишите явно знаки суммирования). Получим
$\varepsilon_{ijk}f_{,ik}=\varepsilon_{kji}f_{,ki}$
Теперь воспользуемся антисимметрией $\varepsilon_{ijk}$ и симметрией $f_{,ik}$ и переставим индексы так, чтобы буковки вернулись на прежние места:
$\varepsilon_{kji}=-\varepsilon_{ijk}$
$f_{,ki}=f_{,ik}$
Тогда
$\varepsilon_{ijk}f_{,ik}=\varepsilon_{kji}f_{,ki}=-\varepsilon_{ijk}f_{,ik}$
Так как $\varepsilon_{ijk}f_{,ik}$ равно себе с противоположным знаком, оно равно нулю.

Этот трюк проделывается один раз в жизни, после чего выводится правило:
если одно выражение симметрично по паре индексов, а второе антисимметрично по той же паре, то их свёртка по двум этим индексам даст нуль.

Итак (это ответ на Ваш вопрос про символ Леви-Чивита): равен нулю не сам этот символ, а его свёртка с симметричной второй частной производной.

-- Вт апр 16, 2019 18:41:41 --

Imaginarium в сообщении #1388117 писал(а):
$\mathbf{m}\times\nabla f = \varepsilon_{ijk} m_j  f_{,k}$
Как было сказано (см. выше мою фразу со словом «Нехорошо»), лучше $(\mathbf{m}\times\nabla f)_i = \varepsilon_{ijk} m_j  f_{,k}$, хотя бы для формального соблюдения правила Эйнштейна в отношении внешнего индекса $i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение17.04.2019, 00:10 


12/06/11
102
СПб
svv в сообщении #1388121 писал(а):
Правильно. :-)
Так как оба индекса у $f$ получились дифференцированием, принято писать оба после запятой: $f_{,ik}$. Это подчёркивает симметричность:
$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_k}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_k \partial x_i}$, или в нашей записи $f_{,ik}=f_{,ki}$.

Теперь смотрите, какой трюк. У нас в правую часть входит $\varepsilon_{ijk}f_{,ik}$. Мы можем переименовать $i$ в $k$ и одновременно переименовать $k$ в $i$, это ни на что не повлияет (если это трудно понять, запишите явно знаки суммирования). Получим
$\varepsilon_{ijk}f_{,ik}=\varepsilon_{kji}f_{,ki}$
Теперь воспользуемся антисимметрией $\varepsilon_{ijk}$ и симметрией $f_{,ik}$ и переставим индексы так, чтобы буковки вернулись на прежние места:
$\varepsilon_{kji}=-\varepsilon_{ijk}$
$f_{,ki}=f_{,ik}$
Тогда
$\varepsilon_{ijk}f_{,ik}=\varepsilon_{kji}f_{,ki}=-\varepsilon_{ijk}f_{,ik}$
Так как $\varepsilon_{ijk}f_{,ik}$ равно себе с противоположным знаком, оно равно нулю.

Этот трюк проделывается один раз в жизни, после чего выводится правило:
если одно выражение симметрично по паре индексов, а второе антисимметрично по той же паре, то их свёртка по двум этим индексам даст нуль.

Итак (это ответ на Ваш вопрос про символ Леви-Чивита): равен нулю не сам этот символ, а его свёртка с симметричной второй частной производной.

-- Вт апр 16, 2019 18:41:41 --

Imaginarium в сообщении #1388117 писал(а):
$\mathbf{m}\times\nabla f = \varepsilon_{ijk} m_j  f_{,k}$
Как было сказано (см. выше мою фразу со словом «Нехорошо»), лучше $(\mathbf{m}\times\nabla f)_i = \varepsilon_{ijk} m_j  f_{,k}$, хотя бы для формального соблюдения правила Эйнштейна в отношении внешнего индекса $i$.


Вот это чудо просто :shock: . Никогда такого не встречал и не приходилось похожего делать. Очень изящное решение. Огромное спасибо. Вы не могли бы подсказать литературу по тензорному исчислению, которую действительно бы стоило с карандашом в руках прорешать?
Есть еще предложение сделать через тензорное представление дифференциала функции $f$, тогда, дифференцируя по $r$ можно добиться желаемого. И по-простому, из википедийной статьи с операторными соотношениями взять $\operatorname{div}\ (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot \operatorname{rot}\ \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \operatorname{rot}\ \mathbf{B}$ и получить тоже ноль, т.к. единственное нетривиальное слагаемое с $\operatorname{rot}\mathbf{m}$ обнулится, т.к. $\mathbf{m}$ не зависит от $r$ (это я уже проморгал в условии, чисто физические соображения).

Большое всем спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Дивергенция градиента (дивергенция магнитного тока)
Сообщение17.04.2019, 00:47 
Заслуженный участник


23/07/08
7879
Харьков
И если мы все эти вещи, о которых я говорил, уже знаем, то вычисление выглядит так:
$j_{i,i}=(\varepsilon_{ijk}m_j f_{,k})_{,i}=\varepsilon_{{\color{magenta}i}j{\color{magenta}k}}m_j f_{,{\color{magenta}ki}}=0$

Imaginarium в сообщении #1388160 писал(а):
Есть еще предложение сделать через тензорное представление дифференциала функции $f$, тогда, дифференцируя по $r$ можно добиться желаемого.
Обратите внимание, что мы доказали общий факт: наша дивергенция нулевая независимо от того, как $f$ зависит от координат.
Imaginarium в сообщении #1388160 писал(а):
И по-простому, из википедийной статьи с операторными соотношениями взять $\operatorname{div}\ (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot \operatorname{rot}\ \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \operatorname{rot}\ \mathbf{B}$ и получить тоже ноль
Да, можно воспользоваться готовой формулой.

Imaginarium в сообщении #1388160 писал(а):
Вы не могли бы подсказать литературу по тензорному исчислению, которую действительно бы стоило с карандашом в руках прорешать?
К сожалению, не подскажу — есть много книг, но я не рискну выбрать из них «самую-самую». Но, уверен, Вам подскажут другие участники. Вам, как я понимаю, надо «с физическим уклоном».

Давайте теперь попробуем более спокойный метод. При этом лаконичные обозначения для частных производных сохраним.
$\nabla f=(f_{,1}\,, f_{,2}\,, f_{,3})$
$\mathbf m\times\nabla f=\begin{vmatrix}\mathbf e_1 &\mathbf e_2&\mathbf e_3\\m_1&m_2&m_3\\f_{,1}&f_{,2}&f_{,3}\end{vmatrix}=(m_2 f_{,3}-m_3 f_{,2}\,,m_3 f_{,1}-m_1 f_{,3}\,,m_1 f_{,2}-m_2 f_{,1})$
Я выписал явно компоненты вектора $\mathbf m\times\nabla f$. Пожалуйста, покажите, что его дивергенция равна нулю. Дифференцирование будет несложным, потому что $m_i$ константы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group