2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Применимость теоремы Фробениуса-Перрона
Сообщение07.04.2019, 19:17 


26/09/17
23
Применима ли теорема Фробениуса-Перрона (о существовании и свойствах доминирующего собственного значения квадратной матрицы со строго положительными элементами) к квадратной матрице со счетным числом строк (столбцов)? Почему?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применимость теоремы Фробениуса-Перрона
Сообщение14.04.2019, 12:03 
Заслуженный участник


03/01/09
1327
москва
Для доминирующего собственного значения квадратной матрицы в этой теореме выполняются неравенства:$$\min \limits _{i}\sum \limits_ja_{ij}\leq r\leq \max \limits _{i}\sum \limits _{j}a_{ij}$$Как записать эти неравенства, например, для бесконечной матрицы с элементами $a_{ij}=1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Применимость теоремы Фробениуса-Перрона
Сообщение15.04.2019, 00:02 


26/09/17
23
mihiv в сообщении #1387631 писал(а):
Для доминирующего собственного значения квадратной матрицы в этой теореме выполняются неравенства:$$\min \limits _{i}\sum \limits_ja_{ij}\leq r\leq \max \limits _{i}\sum \limits _{j}a_{ij}$$Как записать эти неравенства, например, для бесконечной матрицы с элементами?


Естественно, что сходимость предполагается. Следовательно проблем с выполнением данного неравенства нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применимость теоремы Фробениуса-Перрона
Сообщение15.04.2019, 03:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5454
Если понимать бесконечную матрицу как оператор в гильбертовом пространстве, то у него вообще может не быть собственных значений. Пример: пусть $\{e_n\colon n\in \mathbb Z\}$ — стандартный базис в $\ell^2(\mathbb Z)$. Рассмотрим оператор $A e_n=e_{n+1}+e_{n-1}$. У него вообще нет собственных значений (в данном случае это называется непрерывный спектр). Матрица — это две единичные диагонали сверху и снизу от главной, а всё остальное нули.

-- Вс, 14 апр 2019 17:27:12 --

Пример со строго положительными элементами: в том же пространстве, матрица с элементами $A_{mn}=e^{-|n-m|}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применимость теоремы Фробениуса-Перрона
Сообщение15.04.2019, 10:24 


26/09/17
23
g______d в сообщении #1387772 писал(а):
Если понимать бесконечную матрицу как оператор в гильбертовом пространстве, то у него вообще может не быть собственных значений. Пример: пусть $\{e_n\colon n\in \mathbb Z\}$ — стандартный базис в $\ell^2(\mathbb Z)$. Рассмотрим оператор $A e_n=e_{n+1}+e_{n-1}$. У него вообще нет собственных значений (в данном случае это называется непрерывный спектр). Матрица — это две единичные диагонали сверху и снизу от главной, а всё остальное нули.

-- Вс, 14 апр 2019 17:27:12 --

Пример со строго положительными элементами: в том же пространстве, матрица с элементами $A_{mn}=e^{-|n-m|}$.


Естественно, что существование спектра предполагается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применимость теоремы Фробениуса-Перрона
Сообщение15.04.2019, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1110
maximkarimov в сообщении #1387798 писал(а):
Естественно, что существование спектра предполагается.
Тогда это уже не теорема Фробениуса — Перрона

 Профиль  
                  
 
 Re: Применимость теоремы Фробениуса-Перрона
Сообщение15.04.2019, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6099
Попытайтесь погуглить про "Krein–Rutman theorem". Общий совет в подобных случаях: заходите на страничку англовики по основному вопросу и смотрите на ней пункт "обобщения". Если подобные обобщения широкоизвестны, с большой вероятностью там будет о них упомянуто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применимость теоремы Фробениуса-Перрона
Сообщение15.04.2019, 11:02 


26/09/17
23
grizzly в сообщении #1387800 писал(а):
Попытайтесь погуглить про "Krein–Rutman theorem". Общий совет в подобных случаях: заходите на страничку англовики по основному вопросу и смотрите на ней пункт "обобщения". Если подобные обобщения широкоизвестны, с большой вероятностью там будет о них упомянуто.


Огромное спасибо! Англо-вики рулит!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Применимость теоремы Фробениуса-Перрона
Сообщение15.04.2019, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5454
maximkarimov в сообщении #1387798 писал(а):
Естественно, что существование спектра предполагается.


Так спектр в данном случае есть, просто он непрерывный и собственных значений нет.

С компактными операторами, конечно, всё проще, как отметил grizzly.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применимость теоремы Фробениуса-Перрона
Сообщение15.04.2019, 14:39 


26/09/17
23
g______d в сообщении #1387831 писал(а):
maximkarimov в сообщении #1387798 писал(а):
Естественно, что существование спектра предполагается.


Так спектр в данном случае есть, просто он непрерывный и собственных значений нет.

С компактными операторами, конечно, всё проще, как отметил grizzly.


Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: VanD


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group