Применимость теоремы Фробениуса-Перрона

[maximkarimov]

Применима ли теорема Фробениуса-Перрона (о существовании и свойствах доминирующего собственного значения квадратной матрицы со строго положительными элементами) к квадратной матрице со счетным числом строк (столбцов)? Почему?
Спасибо.

[mihiv]

Для доминирующего собственного значения квадратной матрицы в этой теореме выполняются неравенства:

$$\min \limits _{i}\sum \limits_ja_{ij}\leq r\leq \max \limits _{i}\sum \limits _{j}a_{ij}$$

Как записать эти неравенства, например, для бесконечной матрицы с элементами $a_{ij}=1$?

[maximkarimov]

mihiv в сообщении #1387631 писал(а):

Для доминирующего собственного значения квадратной матрицы в этой теореме выполняются неравенства:

$$\min \limits _{i}\sum \limits_ja_{ij}\leq r\leq \max \limits _{i}\sum \limits _{j}a_{ij}$$

Как записать эти неравенства, например, для бесконечной матрицы с элементами?

Естественно, что сходимость предполагается. Следовательно проблем с выполнением данного неравенства нет.

[g______d]

Если понимать бесконечную матрицу как оператор в гильбертовом пространстве, то у него вообще может не быть собственных значений. Пример: пусть $\{e_n\colon n\in \mathbb Z\}$ — стандартный базис в $\ell^2(\mathbb Z)$. Рассмотрим оператор $A e_n=e_{n+1}+e_{n-1}$. У него вообще нет собственных значений (в данном случае это называется непрерывный спектр). Матрица — это две единичные диагонали сверху и снизу от главной, а всё остальное нули.

-- Вс, 14 апр 2019 17:27:12 --

Пример со строго положительными элементами: в том же пространстве, матрица с элементами $A_{mn}=e^{-|n-m|}$.

[maximkarimov]

g______d в сообщении #1387772 писал(а):

Если понимать бесконечную матрицу как оператор в гильбертовом пространстве, то у него вообще может не быть собственных значений. Пример: пусть $\{e_n\colon n\in \mathbb Z\}$ — стандартный базис в $\ell^2(\mathbb Z)$. Рассмотрим оператор $A e_n=e_{n+1}+e_{n-1}$. У него вообще нет собственных значений (в данном случае это называется непрерывный спектр). Матрица — это две единичные диагонали сверху и снизу от главной, а всё остальное нули.

-- Вс, 14 апр 2019 17:27:12 --

Пример со строго положительными элементами: в том же пространстве, матрица с элементами $A_{mn}=e^{-|n-m|}$.

Естественно, что существование спектра предполагается.

[Legioner93]

maximkarimov в сообщении #1387798 писал(а):

Естественно, что существование спектра предполагается.

Тогда это уже не теорема Фробениуса — Перрона

[grizzly]

Попытайтесь погуглить про "Krein–Rutman theorem". Общий совет в подобных случаях: заходите на страничку англовики по основному вопросу и смотрите на ней пункт "обобщения". Если подобные обобщения широкоизвестны, с большой вероятностью там будет о них упомянуто.

[maximkarimov]

grizzly в сообщении #1387800 писал(а):

Попытайтесь погуглить про "Krein–Rutman theorem". Общий совет в подобных случаях: заходите на страничку англовики по основному вопросу и смотрите на ней пункт "обобщения". Если подобные обобщения широкоизвестны, с большой вероятностью там будет о них упомянуто.

Огромное спасибо! Англо-вики рулит!)

[g______d]

maximkarimov в сообщении #1387798 писал(а):

Естественно, что существование спектра предполагается.

Так спектр в данном случае есть, просто он непрерывный и собственных значений нет.

С компактными операторами, конечно, всё проще, как отметил grizzly.

[maximkarimov]

g______d в сообщении #1387831 писал(а):

maximkarimov в сообщении #1387798 писал(а):

Естественно, что существование спектра предполагается.

Так спектр в данном случае есть, просто он непрерывный и собственных значений нет.

С компактными операторами, конечно, всё проще, как отметил grizzly.

Спасибо!