Что входит\не входит в теорию (например мнимая масса)

[wrest]

В соседней теме про постулаты СТО написано что

Someone в сообщении #1387189 писал(а):

В принципе, СТО допускает существование частиц, движущихся со сверхсветовыми скоростями (тахионов).

Я (в который раз) почитал Википедию про тахионы, и там написано, что это возможно если масса частицы выражается не вещественным, а комплексным числом, с нулевой вещественной частью (т.е. -- мнимым). Ну или что почти тоже самое -- что квадрат массы -- отрицательное число. Насколько правомерно говорить что "СТО допускает" такое применение? Можно ли также говорить и о том, что механика Ньютона тоже "допускает" существование объектов с мнимыми или отрицательными массами, или что скорости объектов могут быть выражаться мнимыми числами?
Мой вопрос лежит в плоскости "Что такое теория и что входит в теорию" то есть, является ли теория просто набором формул, а мы можем подставлять в формулы вместо вещественных чисел другие множества и это все равно будет "допускаться теорией"?

То есть, скажем, является ли область значений выражаемых числами физических величин частью теории, или вот есть формула $E=\dfrac{mv^2}{2}$ и подставив туда мнимое значение скорости, получим отрицательное значение кинетической энергии и скажем "механика Ньютона допускает это", или подставим отрицательное значение массы и опять "механика Ньютона допускает это"?

[Munin]

wrest в сообщении #1387228 писал(а):

Я (в который раз) почитал Википедию... Насколько правомерно говорить что "СТО допускает" такое применение?

Надо понимать две вещи:

1. Википедия - не учебник.
2. Теория, даже когда она изложена в учебниках и монографиях, может быть изложена по-разному. В том числе, возможны некоторые колебания, что в теорию входит, а что - не входит. Это нормально, когда "ядро" теории одинаково. И конечно, когда теория продолжает быть непротиворечивой и внутренне обоснованной.

Аналогичные "колебания" встречаются с математическими теоремами (их формулировками), даже с определениями.

wrest в сообщении #1387228 писал(а):

Мой вопрос лежит в плоскости "Что такое теория и что входит в теорию" то есть, является ли теория просто набором формул, а мы можем подставлять в формулы вместо вещественных чисел другие множества и это все равно будет "допускаться теорией"?

Теория - это некоторый математический аппарат, замкнутый относительно некоторых вопросов и задач, и ответов на них.

Например, говоря о ньютоновской механике, мы представляем себе пространство-время $\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$ (заметим, вещественное). Каждая частица, будь то материальная точка или частица какого-то тела, движется по нему по некоторой непрерывной линии $t\mapsto(x,y,z).$ Если речь о твёрдом теле, то расстояния между его частицами, взятые в каждый отдельный момент времени, сохраняются. И дальше на этом языке формулируются условия задач, и вычисляются решения.

wrest в сообщении #1387228 писал(а):

Насколько правомерно говорить что "СТО допускает" такое применение? Можно ли также говорить и о том, что механика Ньютона тоже "допускает" существование объектов с мнимыми или отрицательными массами, или что скорости объектов могут быть выражаться мнимыми числами?

Формулы СТО не висят в воздухе сами по себе. Они как-то связаны с той базовой моделью, пример которой я привёл для ньютоновской механики (в СТО аналогичную роль играет пространство-время Минковского). Таким образом, получается, что в механику Ньютона "некуда" подставлять мнимые массы (отрицательные - можно), а в механику СТО - "есть куда". В этом случае будут построены вещи (мировые линии частиц), не выходящие за рамки базовой модели (эти мировые линии можно провести в пространстве Минковского, они не потребуют топологической перестройки и т. п.).

Пытаться разбираться с этим вопросом, думая про каждую формулу в отдельности, и про физические величины в отдельности, - ошибка. В теории величины и формулы взаимосвязаны. Например, может существовать график для двух или нескольких величин, такой что в нём какие-то значения "допустимы в теории", а какие-то значения - "недопустимы". Но на языке величин, взятых по отдельности, этого не выразить.

-- 12.04.2019 13:00:22 --

Насчёт отрицательных масс в теории Ньютона: этот вариант теории реально встречается для некоторых квазичастиц в сплошных средах. Они ведут себя, конечно, необычно: при приложении силы ускоряются в противоположном направлении. Но это реально наблюдается в экспериментах, и с формулами Ньютона согласуется, так что всё окей.

[wrest]

Munin в сообщении #1387257 писал(а):

не выходящие за рамки базовой модели (эти мировые линии можно провести в пространстве Минковского, они не потребуют топологической перестройки и т. п.).

С "и т.п." -- неясно. Что туда может входить? И что входит в "базовую модель" -- из вашего текста я понял что в случае СТО в базовую модель входит "пространство Минковского". По этому поводу у меня тоже вопрос. Насколько я понимаю, пространство Минковского -- незамкнуто. Но если замкнуть "пространственную" часть в 3-цилиндр или 3-тор, ничего же особо не изменится (если, конечно, размеры 3-тора достаточно велики). Вот такое пространство -- оно может соответствовать "базовой модели"? Что важно для "базовой модели"? Ну и насчет массы. А масса как-то особо определяется, например в СТО? Или это типа " и так все знают что это": как точки, прямые и плоскости в (обычной, евклидовой) геометрии.

[bayak]

wrest, замыкать можно по-разному и размеры тора не обязаны быть очень большими. Наоборот, они могут быть очень даже маленькими.

[Someone]

wrest в сообщении #1387264 писал(а):

Насколько я понимаю, пространство Минковского -- незамкнуто.

Термин "замкнутый" имеет в математике столько совершенно различных значений… Вы не угадали, что имелось в виду.

wrest в сообщении #1387264 писал(а):

Но если замкнуть "пространственную" часть в 3-цилиндр или 3-тор, ничего же особо не изменится (если, конечно, размеры 3-тора достаточно велики).

Изменится, и весьма радикально. В частности, появится возможность определить "абсолютную" скорость.

[Munin]

wrest в сообщении #1387264 писал(а):

С "и т.п." -- неясно. Что туда может входить?

Да что угодно. Вместо этого, перечисляют, что должно входить в базовую модель.

wrest в сообщении #1387264 писал(а):

И что входит в "базовую модель" -- из вашего текста я понял что в случае СТО в базовую модель входит "пространство Минковского".

Да, это так (и пространство Минковского - без кавычек, стоит знать, что это такое).

Но на "мой текст" опираться и ссылаться не следует. Следует прочитать это в учебниках. Например, для СТО:
Тейлор, Уилер. Физика пространства-времени. (При достаточной физико-математической подготовке этот детский уровень можно пропустить.)
Ландау, Лифшиц-2. Теория поля. (В базовом смысле - первые 2-4 главы.)
Боголюбов, Ширков. Квантовые поля ("тонкая книжка", первые 2 главы). Или что-то аналогичное.
можно углубиться, например, в

Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. (Первые 4 главы.)
Гельфанд, Минлос, Шапиро. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения.

wrest в сообщении #1387264 писал(а):

По этому поводу у меня тоже вопрос. Насколько я понимаю, пространство Минковского -- незамкнуто. Но если замкнуть "пространственную" часть в 3-цилиндр или 3-тор, ничего же особо не изменится (если, конечно, размеры 3-тора достаточно велики). Вот такое пространство -- оно может соответствовать "базовой модели"? Что важно для "базовой модели"?

Неверно, что "ничего особо не изменится". Есть локальные свойства, которые действительно не изменятся. Например, столкновение двух точечных частиц будет происходить по таким же законам. Ускоренный наблюдатель будет наблюдать эффект Доплера. И т. д.

Однако есть и глобальные свойства, и они в СТО подразумевают именно стандартное пространство Минковского, безо всяких склеек. Например, принцип относительности подразумевает симметрию всего пространства относительно бустов, а тут она будет нарушена. Или же, если рассматривать волновое уравнение, то в замкнутом пространстве в нём могут существовать волны не с произвольной длиной волны, а только из дискретного набора (это в принципе наблюдается при локальном измерении спектра энергии квантовой частицы).

Поэтому, такие склейки считаются не соответствующими СТО. Однако они вполне входят в сферу рассмотрения ОТО.

wrest в сообщении #1387264 писал(а):

Ну и насчет массы. А масса как-то особо определяется, например в СТО? Или это типа " и так все знают что это": как точки, прямые и плоскости в (обычной, евклидовой) геометрии.

Да, определяется. См. учебники (как я уже и говорил), например, ЛЛ-2 § 9, особенно (9.16) - это можно взять за определение.

Кстати, точки, прямые и плоскости в евклидовой геометрии тоже определяются. И это тоже стоит посмотреть в учебниках (не в школьных).

bayak в сообщении #1387267 писал(а):

wrest, замыкать можно по-разному и размеры тора не обязаны быть очень большими.

Это неправда.

-- 12.04.2019 15:09:06 --

Someone в сообщении #1387270 писал(а):

Термин "замкнутый" имеет в математике столько совершенно различных значений… Вы не угадали, что имелось в виду.

Это можно простить, если допустить, что человек держал в голове названия космологических моделей ("замкнутая" и "открытая" как эллиптическое / сферическое и гиперболическое пространства).

[wrest]

Someone в сообщении #1387270 писал(а):

Изменится, и весьма радикально. В частности, появится возможность определить
"абсолютную" скорость.

Правильно ли я понял, что эта возможность появится только после оборота вокруг цилиндра, а локально (пролетев только часть окружности) все равно этого сделать нельзя? И если вы заранее не знаете топологию, и у вас есть скажем час (собственного) времени, то вы не сможете ни определить выделенное направление (вокруг которого пространство свернуто в цилиндр) ни длину окружности, ничего. Приборы ведь не покажут "пространство свернуто в цилиндр\тор вдоль такого-то и такого-то направлений"? Тогда вопрос о том, что включается в теорию (в частности в СТО) остается. Вот Munin выше на него отвечает так:

Munin в сообщении #1387279 писал(а):

Однако есть и глобальные свойства, и они в СТО подразумевают именно стандартное пространство Минковского, безо всяких склеек.

Соответственно, невозможность, скажем, определения выделенного направления в пространстве или "абсолютной" скорости себя относительно пространства, в СТО формулируется как "пространство локально изотропно" или "пространство локально И глобально изотропно"? Просто, если выбор второй, то СТО, естественно, не описывает мира в котором мы живем (в частности, время не продолжается назад бесконечно, Вселенная расширяется и т.п.).

Munin в сообщении #1387279 писал(а):

См. учебники (как я уже и говорил), например, ЛЛ-2 § 9, особенно (9.16) - это можно взять за определение.

Я посмотрел этот параграф, но прошу меня простить, не увидел там каких-либо намеков на то, что масса может выражаться как вещественным, так и комплексным (чисто мнимым) числом. Кроме того, там написано, что "энергия свободного тела (т.е. энергия любой замкнутой системы) оказывается в релятивисткой механике вполне определенной, всегда положительной величиной, непосредственно связанной с массой тела". Если масса (частицы, тела) может быть мнимой величиной, как его энергия может стать положительной, если масса входит туда (9.4) в первой степени, а не в квадрате?
А... или погодите.

$$\mathscr{E}=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \eqno(9.4)$$

и при $v>c$ знаменатель становится мнимым, так что если масса мнимая, мнимости сокращаются... Вот это что ли?
Выглядит как "ловкость рук"...

[Munin]

wrest в сообщении #1387287 писал(а):

Правильно ли я понял, что эта возможность появится только после оборота вокруг цилиндра, а локально (пролетев только часть окружности) все равно этого сделать нельзя?

Вы исходите из кучи подразумеваемых предположений, которые надо на самом деле явно озвучивать. Например, вы полагаете, что вселенная в этой ситуации пустая.

wrest в сообщении #1387287 писал(а):

Приборы ведь не покажут "пространство свернуто в цилиндр\тор вдоль такого-то и такого-то направлений"?

Могут и показать. Это был актуальный вопрос при наблюдении реликтового излучения. Кроме того, см. замечание насчёт спектра квантовых частиц.

wrest в сообщении #1387287 писал(а):

Тогда вопрос о том, что включается в теорию (в частности в СТО) остается.

Вам на него уже ответили: пространство Минковского - включается.

wrest в сообщении #1387287 писал(а):

Соответственно, невозможность, скажем, определения выделенного направления в пространстве или "абсолютной" скорости себя относительно пространства, в СТО формулируется как "пространство локально изотропно" или "пространство локально И глобально изотропно"?

Второе.

wrest в сообщении #1387287 писал(а):

Просто, если выбор второй, то СТО, естественно, не описывает мира в котором мы живем (в частности, время не продолжается назад бесконечно, Вселенная расширяется и т.п.).

Да, разумеется. Для вас это новость?

СТО является основой для построения ОТО. В ОТО выполняется СТО локально (и с точностью до вторых производных по координатам, поскольку там уже может влиять кривизна). А дальше, мир, в котором мы живём, глобально описывается уже ОТО, а именно космологическими моделями ОТО.

Это не говоря о том, что в других смыслах, на других масштабах, по отношению к другим явлениям - мир описывается третьими теориями, четвёртыми, и так далее. Никакой единой теории для полного описания мира физикой пока не достигнуто. Это всё общеизвестные факты.

wrest в сообщении #1387287 писал(а):

Я посмотрел этот параграф, но прошу меня простить, не увидел там каких-либо намеков на то, что масса может выражаться как вещественным, так и комплексным (чисто мнимым) числом.

Если вы заглянете в § 6 (вообще полезно книгу читать подряд), то увидите, что выражение $p^i p_i$ есть "квадрат длины" 4-вектора, который может быть положительным, отрицательным или равным нулю; и при этом не зависит от системы координат. Сам 4-вектор $p^i$ пропорционален 4-вектору $u^i,$ который (§ 7) является касательным к мировой линии частицы. Формулы, основанные на использовании $p^i$ и $u^i,$ совершенно никак не меняются, если допустить локально пространственноподобные мировые линии, и таким образом, сверхсветовые частицы с отрицательным "квадратом длины" 4-вектора импульса.

Как уже говорилось, изложение теории может колебаться от книги к книге. В ЛЛ-2 описывается только случай $m^2\geqslant 0,$ и другая возможность отвергается по физическим соображениям, но эта возможность не противоречит базовой части СТО.

wrest в сообщении #1387287 писал(а):

Выглядит как "ловкость рук"...

К сожалению, вы опять смотрите на отдельные формулы, а не на модель в целом. См. мой абзац выше.

Для частиц с отрицательным "квадратом длины" 4-вектора импульса, базовыми величинами являются энергия и импульс (как и для светоподобной частицы), а масса в расчётах почти не участвует. "Квадрат длины" 4-вектора импульса - инвариант.

[wrest]

Munin в сообщении #1387297 писал(а):

Вы исходите из кучи подразумеваемых предположений, которые надо на самом деле явно озвучивать. Например, вы полагаете, что вселенная в этой ситуации пустая.

Ну, не я исхожу, а я читаю по ссылке текст Someone. В принципе, мне кажется, что там содержится и положительный ответ на мой вопрос, но в явном виде нет, так что я дополнительно спрашиваю "правильно ли я понял, что...".

Munin в сообщении #1387297 писал(а):

Вам на него уже ответили: пространство Минковского - включается.

Вы - ответили. Почему бы не спросить у другого специалиста?

Munin в сообщении #1387297 писал(а):

Если вы заглянете в § 6 (вообще полезно книгу читать подряд), то увидите, что выражение $p^i p_i$ есть "квадрат длины" 4-вектора, который может быть положительным, отрицательным или равным нулю; и при этом не зависит от системы координат.

В квадрате длины вектора 4-импульса уже всё смешано-перемешано: масса, энергия, скорость, всё.
Впрочем, важным мне показалось вот это:

Munin в сообщении #1387297 писал(а):

. В ЛЛ-2 описывается только случай $m^2\geqslant 0,$ и другая возможность отвергается по физическим соображениям, но эта возможность не противоречит базовой части СТО.

То выходит, что есть "базовая часть СТО", которая не опирается на физические соображения, и они (физические соображения) не являются "базовой частью СТО", раз исходя из них можно построить "такую" или "сякую" СТО, т.е. прикладывая те или иные физические соображения, я верно понял? Условно говоря, можно построить "СТО где тахионы возможны" и "СТО без тахионов".

Munin в сообщении #1387297 писал(а):

Это не говоря о том, что в других смыслах, на других масштабах, по отношению к другим явлениям - мир описывается третьими теориями, четвёртыми, и так далее. Никакой единой теории для полного описания мира физикой пока не достигнуто. Это всё общеизвестные факты.

Это как раз понятно, непонятно было каким образом в СТО могут попадать тахионы, и теория с тахионами по-прежнему может называться СТО.

[Munin]

wrest в сообщении #1387301 писал(а):

В квадрате длины вектора 4-импульса уже всё смешано-перемешано: масса, энергия, скорость, всё.

Ровно наоборот. Математика 4-мерных векторов и тензоров всё расставляет аккуратно по полочкам. Без иллюзий и исторических заблуждений.

wrest в сообщении #1387301 писал(а):

То выходит, что есть "базовая часть СТО", которая не опирается на физические соображения

Демагогией вы многого не добьётесь.

Базовая часть СТО опирается на физические соображения. Положение $m^2\geqslant 0$ - на другие физические соображения. В книге ЛЛ-2 они изложены вместе (и в ряде других книг). Но могут быть рассмотрены и по отдельности (в другом ряде книг). А выворачивать наизнанку смысл сказанного можно лишь злонамеренно: пытаясь или провозгласить лженауку, или оболгать и очернить собеседника.

wrest в сообщении #1387301 писал(а):

Условно говоря, можно построить "СТО где тахионы возможны" и "СТО без тахионов".

Да, и это я сказал уже в самом первом сообщении.

wrest в сообщении #1387301 писал(а):

Это как раз понятно, непонятно было каким образом в СТО могут попадать тахионы, и теория с тахионами по-прежнему может называться СТО.

Упражнение: подставьте во все формулы § 9 значение $m^2<0,\quad |\mathbf{p}c|>\mathcal{E},$ выпишите эти формулы (здесь на форуме). Сообщите, с какими из них у вас возникли проблемы. Использовать $|v|>c,\quad ds^2<0.$

[wrest]

wrest в сообщении #1387287 писал(а):

И если вы заранее не знаете топологию, и у вас есть скажем час (собственного) времени, то вы не сможете ни определить выделенное направление (вокруг которого пространство свернуто в цилиндр) ни длину окружности, ничего. Приборы ведь не покажут "пространство свернуто в цилиндр\тор вдоль такого-то и такого-то направлений"?

Someone - это вопрос снимаю, нашел ваш ответ:

Цитата:

Если запретить в цилиндрическом мире "кругосветные" путешествия, то определить абсолютное движение невозможно.

-- 12.04.2019, 18:05 --

Munin в сообщении #1387304 писал(а):

А выворачивать наизнанку смысл сказанного можно лишь злонамеренно: пытаясь или провозгласить лженауку, или оболгать и очернить собеседника.

Ой ну опять вы за своё. Я же спрашиваю - "а что входит в перечень", а ваши ответы сводятся к "да разное входит, читайте книжки". Вот я и выпытаваю :)

Munin в сообщении #1387304 писал(а):

подставьте во все формулы § 9 значение $m^2<0,\quad |\mathbf{p}c|>\mathcal{E},$ выпишите эти формулы (здесь на форуме). Сообщите, с какими из них у вас возникли проблемы. Использовать $|v|>c,\quad ds^2<0.$

В (9.10) и (9.11) не хочет подставляться, но это из-за моего невежества :) В остальное вроде подставляется без сюрпризов.

[Munin]

wrest в сообщении #1387306 писал(а):

Я же спрашиваю - "а что входит в перечень", а ваши ответы сводятся к "да разное входит, читайте книжки". Вот я и выпытаваю :)

Так и в самом деле разное входит. И в самом деле, выпытывать бесполезно. Люди - не книжки. Книжки надо читать.

wrest в сообщении #1387306 писал(а):

В (9.10) и (9.11) не хочет подставляться, но это из-за моего невежества :) В остальное вроде подставляется без сюрпризов.

Munin в сообщении #1387304 писал(а):

выпишите эти формулы (здесь на форуме).

Считаю выполнение этого требования минимальной вежливостью с вашей стороны.

[wrest]

Munin в сообщении #1387325 писал(а):

Считаю выполнение этого требования минимальной вежливостью с вашей стороны.

$$\delta S=-mcu_i\delta x^i \left. \right|_a^b + mc \int \limits_a^b\delta x^i\dfrac{du_i}{ds}ds \eqno(9.10)$$

$$\delta S= -mcu_i \delta x^i \eqno (9.11)$$

я этого просто не понимаю, так что нормально ли там будет мнимая $m$ -- не представляю. Я вообще вариационную часть рассуждений понимаю очень смутно, как через мутное стекло.

[Munin]

wrest в сообщении #1387330 писал(а):

Я вообще вариационную часть рассуждений понимаю очень смутно, как через мутное стекло.

Ну тогда пропустите её. По сути, она нужна тут только для того, чтобы вывести 2-й закон Ньютона (9.17). Эту формулу вы понимаете? Для проверки: каковы будут трёхмерная сила $\mathbf{f}$ и мощность $(\mathbf{fv})$ для частицы с пространственноподобным 4-вектором импульса?

[Eule_A]

Munin в сообщении #1387279 писал(а):

Гельфанд, Минлос, Шапиро. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения.

Справедливости ради, просто назвать в данном контексте эту книгу - не значит оказать помощь. Если Вы хотели сослаться на начало второй части, где определяется группа Лоренца, говорится о её компонентах связности и т.д., то почему бы было так и не сделать? Да и вообще, так ли стоило вот именно к обсуждаемому вопросу привлекать именно эту книгу и именно в этот момент (это замечание риторическое).

Munin в сообщении #1387352 писал(а):

Для проверки: каковы будут трёхмерная сила $\mathbf{f}$ и мощность $(\mathbf{fv})$ для частицы с пространственноподобным 4-вектором импульса?

А тут не вполне понятно, какой ответ Вы хотите получить. Слишком общо задан вопрос.

wrest в сообщении #1387330 писал(а):

Я вообще вариационную часть рассуждений понимаю очень смутно, как через мутное стекло.

В данном конкретном случае или в принципе?