Нахождение энергии из дифура

[Alex-Yu]

mihiv в сообщении #1387161 писал(а):

поэтому при определенных условиях на параметры $a, b$ низшие уровни близки к уровням гармонического осциллятора.

Кстати, можно построить теорию возмущений по этому малому отклонению. Например так: отображаем наш конечный отрезок на бесконечный интервал с помощью, например тангенса (а может что-то попроще можно придумать). Тогда в новой переменной, в которой интервал уже бесконечный, уравнение несколько измениться, оно будет похоже на осциллятор, но не точно будет совпадать. Вот это отличие и берем за возмущение.

[S.Grisha]

Alex-Yu, задача, вроде, известная, но я ни разу не видел энергетические уровни, это так раздражает.
Электрон в магнитном поле $(0,0,B),\,\, A=(-B\hat{y},0,0),\,\,\mathbf{p}=(\hat{p}_x,\hat{p}_y,0)$

$$ \hat{H}=\frac{1}{2m}\left(\mathbf{p}-\frac{e}{c}\mathbf{A} \right)^2=\frac{1}{2m}\hat{p}_y^2+\frac{1}{2m}\left(\hat{p}_x+\frac{eB}{c} \hat{y} \right)^2$$

$$\psi(x,y)=e^{ip_x x} \varphi(y),\,\, \varphi(0)=\varphi(L_y)=0$$

После преобразований получим как раз $-\varphi''(y) +(ay-b)^2 \varphi (y)=E \varphi (y).$ Случай $b<<a^{1/2}$ соответствует случаю, когда электроны очень близко к краю образца. Стандартно там параметр, который соответствует положению равновесия осциллятора, и получаются уровни энергии осциллятора. Сейчас этот параметр сдвинут так, что уже не имеет смысла положения равновесия осциллятора.

Но совсем недавно наткнулся на то, что не понимаю, как найти эти энергии.

[Alex-Yu]

S.Grisha в сообщении #1387175 писал(а):

но я ни разу не видел энергетические уровни, это так раздражает.

Простую формулу тут не получить. Но можно численно. Для предельного случая можно попробовать построить теорию возмущений (я выше описал в двух словах). Может полубесконечный интервал окажется чем-то удобнее. В общем возиться надо и основательно. А запросто это не решается.

В принципе хорошая задачка, думаю, если сделать, получится вполне приличная статья. Хорошо бы, правда, придумать, какие экспериментальные следствия. Кстати, для всяких модных нынче нано может оказаться и вообще важная вещь.

[S.Grisha]

Alex-Yu, я разобрался в одном случае и получил

$$\varepsilon_{n,y_0}=\left( 2n+\frac{3}{2}+\frac{4a(2n+1) \Gamma(n+1/2)}{\pi n!} \frac{y_0}{l_B} \right) \hbar \omega_c.$$

Сначала я нашел энергии для целых $n$, они даже нечетные получились, а для четных нет решений. Затем возмутил энергию, не нарушая асимптотику, и нашел поправку, как и делал выше, в самом начале. Таким образом, $\nu=E/2a-1/2$ уже не целое, но близко к нему, $E=E_0+\epsilon$.

Дальше интереснее: рассмотрим случай $b \gg a^{1/2}, \,\, \frac{b}{\sqrt{a}}=\lambda \gg 1,$ где запрятаны энергии осциллятора, известные уровни Ландау. Тут уже без полубесконечной оси не справиться и приходится $L \to \infty,$ ведь асимптотики при $\lambda \to \infty.$ Или так не корректно? В смысле полученные энергии будут соответствовать тем, что я реально ищу?

Вот, что выдаёт Wolfram при $\lambda \to \infty:$

$$D_{\frac{E-a}{2a}}\left(-\sqrt{2} \lambda \right)= \sqrt{\pi} 2^{\frac{a-E}{4a}} e^{ \lambda^2/2} \lambda^{\frac{-a-E}{2a}} \frac{1}{\Gamma \left(\frac{a-E}{2a}\right)}$$

$$D_{\frac{E-a}{2a}}\left(\sqrt{2} \lambda \right)= (-2)^{\frac{E-a}{4a}} e^{-\lambda^2/2} \lambda^{\frac{E-a}{2a}} \cos \frac{(E-a) \pi}{4a}$$

Правильно ли считать, что $D_{\nu}\left(\sqrt{2a}L_y-\sqrt{2/a}b\right)=D_{\nu}\left(-\sqrt{2}\lambda\right), \,\, \lambda \gg 1$? Если да, то выходит, что

$$\sqrt{\pi} 2^{\frac{a-E}{4a}} e^{ \lambda^2/2} \lambda^{\frac{-a-E}{2a}} \frac{1}{\Gamma \left(\frac{a-E}{2a}\right)} D_{\frac{E-a}{2a}}(-\sqrt{2} \lambda)=D_{\frac{E-a}{2a}}(\sqrt{2} \lambda)(-2)^{\frac{E-a}{4a}} e^{-\lambda^2/2} \lambda^{\frac{E-a}{2a}} \cos \frac{(E-a) \pi}{4a}$$

Если $\cos \frac{(E-a) \pi}{4a}=0,$ то $E=4an+3a$ и $\frac{1}{\Gamma \left(\frac{a-E}{2a}\right)}=0.$ Значит, $\nu=2n+1$ и $\varepsilon_n=\left(2n+\frac{3}{2}\right)\hbar \omega_c$. А это очень странно, ведь, должно быть $n+1/2$. И тут уже возмущение энергии ничего не даёт. А должно же... В полном недоумении

-- 12.04.2019, 11:53 --

Alex-Yu в сообщении #1387233 писал(а):

А запросто это не решается.

Да, ещё и не понятно, где ошибки искать. В асимптотиках, похоже. Или нет: может, дело в подходе. Но как тут ещё решения получать. Кроме того, не ясно, почему энергия осциллятора не получается в толще... Они точно соответствуют натуральным $\nu$, потому что в этом случает $D_\nu$ переписывается через полиномы Эрмита, которые и являются собственными функциями в осцилляторной задаче.

Alex-Yu в сообщении #1387233 писал(а):

В принципе хорошая задачка, думаю, если сделать, получится вполне приличная статья.

Какой-то скучный результат. Хотя, я искренне не понимаю, почему эту известную задачу никто подробно не освещал. А если и попадаются статьи, то это просто лажа, их невозможно читать.

[S.Grisha]

Я не правильно перемножил, там выходит $D_- D_+=D_+ D_-$, а граничные условия сводятся к одному $D_-=D_\nu (-\sqrt{2}\lambda) =0,\,\, \lambda \gg 1,$ откуда $(a-E)/2a=-n,\,\, E=2an+a=2a(n+1/2)$ то, что нужно. Получается и возмущение нужно делать в этом уравнении