Неполный прообраз подмножества

[Ktina]

Почему образ подмножества при отображении называют просто образом, а прообраз называют полным прообразом? Бывает ли неполный прообраз подмножества?

[alcoholist]

наверное потому, что прообразом множества $B$ естественно называть любое множество $A$, образ которого есть $B$:))

[Ktina]

alcoholist
Можно ли в таком случае утверждать, что множество всех целых чисел является прообразом множества всех рациональных чисел при отображении $f(x)=x+1$?

[alcoholist]

Нет. Образ множества целых чисел при таком отображении не есть множество рациональных: $f(\mathbb{Z})\ne\mathbb{Q}$.

-- Чт апр 11, 2019 10:25:03 --

а зачем плюс 1?-))

[Ktina]

alcoholist в сообщении #1387031 писал(а):

Нет. Образ множества целых чисел при таком отображении не есть множество рациональных: $f(\mathbb{Z})\ne\mathbb{Q}$.

Ой

-- 11.04.2019, 10:28 --

alcoholist в сообщении #1387031 писал(а):

-- Чт апр 11, 2019 10:25:03 --

а зачем плюс 1?-))

$f(x)=x$ выглядело бы скучно.

-- 11.04.2019, 10:32 --

alcoholist
Кажется, дошло. При отображении $f(x)=x^2$ множество всех ЦНЧ будет неполным прообразом множества всех точных квадратов, тогда как множество всех целых чисел будет полным прообразом. Так?

[alcoholist]

Ktina в сообщении #1387032 писал(а):

ЦНЧ

?

[Ktina]

alcoholist в сообщении #1387035 писал(а):

Ktina в сообщении #1387032 писал(а):

ЦНЧ

?

ЦНЧ - Целые Неотрицательные Числа.

-- 11.04.2019, 11:23 --

http://xn----7sbbfsshef0aedydgg4lyb.xn--p1ai

[alcoholist]

Ktina в сообщении #1387032 писал(а):

Кажется, дошло. При отображении $f(x)=x^2$ множество всех ЦНЧ будет неполным прообразом множества всех точных квадратов, тогда как множество всех целых чисел будет полным прообразом. Так?

ну да

[Ktina]

alcoholist
Большое спасибо!

[mihaild]

Кажется первый раз словосочетание "неполный прообраз" я увидел в этой теме.
Обычно говорят "прообраз элемента" и "полный прообраз множества" ("прообраз множества" тоже говорят, но существенно реже).

[Ktina]

mihaild
Прообраз элемента тоже бывает полным или неполным, разве нет?

[mihaild]

Обычно "прообраз $x$" без привязки к переменной (например "прообраз $x$ принадлежит чему-то там") говорят когда функция биективна (и соответственно прообраз единственный). "Где $y$ - прообраз $x$" - обычно синоним $f(y) = x$.
А вот "полный прообраз $x$" - это уже всегда множество.

(вообще это кажется еще один пример терминологии, где в каждом конкретном случае всё абсолютно понятно, но какие-то универсальные правила сформулировать сложно)