Диофантово уравнение третьей степени

[TR63]

Надо решить в целых числах уравнение:

$x^3-4x^2+2x+12-z^2=0$

Мои попытки решения:

1). Переменная $(x)$ при целом $(z)$ не может принимать не положительные значения.
2). Подбором нашлось одно решение: $(x;z)=(3;\pm3)$.

Вывод: других решений либо нет, либо их можно искать перебором.

Меня интересует только один вопрос: существует ли хотя бы ещё одно конкретное решение.
Если оно существует, то его можно найти перебором. Но я полу логически думаю, что оно не существует и перебор не поможет (тогда интересна граница перебора).
Пожалуйста, помогите разобраться с возникшим вопросом.

[Andrey A]

Достаточно теоремы Виета. $x_1=3.$ Значит $3+x_2+x_3=4$, а иксы у Вас целые положительные числа.

[TR63]

Andrey A, ещё возможен случай, когда один целый положительный и два комплексных (с отрицательной действительной частью; я этот вариант не рассматривала; использовала другие рассуждения; если другой корень не найдётся, то изложу, какие именно).

[Andrey A]

Два целых корня и один комплексный не могут в сумме дать $4$. Их либо один, либо три. Один уже есть. Но возможны три целых с одним отрицательным, об этом я не подумал. Пробуйте.

[TR63]

Andrey A в сообщении #1387054 писал(а):

Два целых корня и один комплексный не могут в сумме дать $4$.

Не поняла, к чему это. (Уравнение третьей степени с действительными коэффициентами может иметь только чётное число комплексных корней (они сопряжённые)).

Andrey A в сообщении #1387054 писал(а):

Но возможны три целых с одним отрицательным

Для данного уравнения этот случай не подходит. Я об этом уже писала:

TR63 в сообщении #1387045 писал(а):

1). Переменная $(x)$ при целом $(z)$ не может принимать не положительные значения.

Обоснование.
При $z^2\le12$ проверяем, например, на Вольфраме. Если иначе, то сумма отрицательных не равна нулю.

[Andrey A]

Из $3+x_2+x_3=4$ получаем $x_2+x_3=1$, тогда $2=3(x_2+x_3)+x_2x_3$. Отсюда $x_2x_3=-1$, целых больше нет.

TR63 в сообщении #1387060 писал(а):

Для данного уравнения этот случай не подходит. Я об этом уже писала:

Это Вы писали про целые корни, а потом взялись почему-то за комплексные, которые конечно есть, но не нужны.

[TR63]

Andrey A в сообщении #1387061 писал(а):

целых больше нет.

Это будет так, если нет корней, кроме $x=3$, $z=\pm3$. Но именно это и надо доказать или опровергнуть. Пока Ваше обоснование отсутствия других корней не очень понятно, т.к., по-моему, Вы опираетесь на факт, который не доказан. Но, если Вы считаете, что полностью доказали отсутствие других корней, то я не возражаю.

[Andrey A]

Вот и хорошо. Я опираюсь на теорему Виета (если что). Ясно ведь, что тем дело не закончится, поэтому еще раз попросту: трёх целых положительных иксов быть не может, поскольку уравнение $3+x_2+x_3=4$ неразрешимо в натуральных числах. Два целых и один нецелый исключены по той же причине или по другой — это как Вам угодно.
Остается единственный вариант $x=3.$

[TR63]

Andrey A в сообщении #1387073 писал(а):

трёх целых положительных иксов быть не может

Andrey A в сообщении #1387073 писал(а):

Два целых и один нецелый исключены

Эти случаи, как раз, понятны были и до Вашего объяснения.

TR63 в сообщении #1387051 писал(а):

ещё возможен случай, когда один целый положительный и два комплексных (с отрицательной действительной частью;

По теореме Виета получаем: $x_1-2\alpha=4$. Здесь не обязательно $x_1=3$, т.к. четвёрку можно получить различными способами. (Здесь $(-\alpha)$ действительная часть комплексного корня.)
Andrey A, почему Вы игнорируете этот случай?

[vpb]

Почитал тему. Что-то странное написано. С уравнением пытаются обращаться как с уравнением от одной переменной (иначе при чем теорема Виета ?), тогда как оно от двух.

Я в предмете не разбираюсь, но могу сказать вот что. На плоской кривой с рациональными коэффициентами есть лишь конечное число целых точек (теорема Зигеля), при условии, что она не является рациональной кривой в смысле алгебраической геометрии. См.Спринджук, Классические диофантовы уравнения от двух неизвестных, и Ленг, Диофантова геометрия. Но явные оценки там ужасны.

Еще стоит упомянуть метод Рунге, про который коллега nnosipov даже написал статью: Н.Н.Осипов, Метод Рунге для уравнений 4-й степени: элементарный подход, Мат. просвещение, 19 (2015), 178-198. Но к данному уравнению, увы, он не применим.

В общем, дерзайте.

[svv]

Раз надо решить в целых числах, не поможет ли записать уравнение в таком виде?:
$(x-3)(x^2-x-1)=(z-3)(z+3)$

[TR63]

vpb в сообщении #1387086 писал(а):

. С уравнением пытаются обращаться как с уравнением от одной переменной (иначе при чем теорема Виета ?

При любых целых $(z)$ сумма возможных корней неизменна и равна четырём. Для рассмотренных вариантов перебираем возможные комбинации. Остаётся один вариант $x=3$. И остаётся ещё один неучтённый, по-моему, вариант:

TR63 в сообщении #1387051 писал(а):

ещё возможен случай, когда один целый положительный и два комплексных (с отрицательной действительной частью

-- 11.04.2019, 18:21 --

svv

svv в сообщении #1387091 писал(а):

Раз надо решить в целых числах

TR63 в сообщении #1387045 писал(а):

Меня интересует только один вопрос: существует ли хотя бы ещё одно конкретное решение.

Это нужно для возможного обобщения этой задачи.

[vpb]

TR63
Понял. Вижу, что Вы с с самого начала понимаете правильно, а собеседник ошибся.

[Andrey A]

TR63 ну так оно и есть один целый положительный и два комплексных $x$, но ведь отрицательные решения отбрасываются, когда они Вас не устраивают (а это всегда), так отбросьте комплексные и давайте уже закругляться.

vpb в сообщении #1387086 писал(а):

С уравнением пытаются обращаться как с уравнением от одной переменной

Интересно. А почему мы не можем на секундочку представить что $z$ нам известен, это запрещено?

[TR63]

Andrey A в сообщении #1387100 писал(а):

отрицательные решения отбрасываются, когда они Вас не устраивают

Не так. Не потому, что они меня не устраивают, а потому, что сумма отрицательных слагаемых в левой части уравнения не равна нулю при $z^2>12$. При $z^2\le12$ отрицательных решений нет.
На каком основании надо отбросить комплексные решения? Чему они противоречат?