Построение ВАХ тлеющего разряда по уравнению Роговского

[optimden]

Здравствуйте. Необходимо построить ВАХ тлеющего разряда на основании системы уравнений, одно из которых является немного изменённым уравнением Роговского.

$$\begin{cases}\frac{U_k^2}{d_k^3}=\frac{j_k}{4\varepsilon_0b_i(1+\gamma)}\\ \ln(1+\frac{1}{\gamma})=Ap\int\limits_0^{d_k} \exp(-\frac{B}{\frac{2U_k}{pd_k}(\frac{x-d_k}{d_k})})dx\end{cases}$$

Параметры, содержащиеся в уравнениях:
$\gamma=0,145\quad p=66\quad A=3\quad B=34\quad \varepsilon_0=8,85\cdot10^{-12}\quad b_i=5\cdot10^{-6}$
Мне в теме раздела «Околонаучный софт» написали, что интеграл в правой части второго уравнения не сходится при данных параметрах. Тем не менее все параметры перепроверил, к тому же они соответствуют реально возможным в тлеющем разряде. Есть пособие, в котором приведён график, построенный на основании данных уравнений, но формулы для зависимости $U_k=f(jk)$ не приведено.
Я пытался решить двумя способами:
1. Проинтегрировал-таки правую часть второго уравнения. В итоге одним из слагаемых результата интегрирования был экспоненциальный интеграл. Я решил пренебречь им, поскольку:

$$Ei(x)=\gamma+ln(x)+\sum\limits_{n>=1} \frac{x^n}{n!\cdot n}$$

Постоянная Эйлера порядка 0,57. Натуральный логарифм $x$, где вместо $x$ в моём конкретном случае будет $d_k$, мал в силу того, что $d_k$ - протяжённость темного катодного пространства, и выраженное в СИ для моего случая будет составлять от силы 0,5 м. Соответственно сумма ряда тоже не внесёт существенного вклада в подсчёты.
Правильно ли я полагаю, что можно упростить себе задачу и пренебречь экспоненциальным интегралом?
В итоге интеграл в правой части раскрывается, как:

$$\int\limits_0^{d_k} \exp\left(-\frac{B}{\frac{2U_k}{pd_k}(\frac{x-d_k}{d_k})}\right)dx=d_k\cdot \exp\left(-\frac{B}{\frac{2U_k}{pd_k}(\frac{x-d_k}{d_k})}\right)$$

Выразил из первого уравнения $d_k$:

$$d_k=\frac{-4^{\frac{1}3}\cdot b_i^{\frac{1}3}\cdot U_k^{\frac{2}3}\cdot \varepsilon_0^{\frac{1}3}\cdot (1+\gamma)^{\frac{1}3}}{j_k^{\frac{1}3}}$$

Выделил произведение всех констант, содержащихся в $d_k$ в новую константу:

$$C1=4^{\frac{1}3}\cdot b_i^{\frac{1}3}\cdot \varepsilon_0^{\frac{1}3}\cdot (1+\gamma)^{\frac{1}3}$$

Левую часть второго уравнения также обозначил за константу, предварительно разделив обе части на $Ap$:

$$C3=\frac{\ln(1+\frac{1}{\gamma})}{Ap}$$

Ввёл новую константу $C4$:

$$C4=\frac{C3}{C1}$$

Поделил обе части на $\frac{U_k^{\frac{2}3}}{j_k^{\frac{1}3}}$. В итоге в правой части осталась только экспонента.
Взял натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

$$\ln\left(C4\cdot \frac{j_k^{\frac{1}3}}{U_k^{\frac{2}3}}\right)=C2\cdot \frac{U_k^{\frac{-1}3}}{j_k^{\frac{1}3}}$$

Каждую часть обозначил за функцию двух переменных:

$$f1(U_k,j_k)=\ln\left(C4\cdot \frac{j_k^{\frac{1}3}}{U_k^{\frac{2}3}}\right)\quad f2(U_k,j_k)=C2\cdot \frac{U_k^{\frac{-1}3}}{j_k^{\frac{1}3}}$$

Пытался построить графики двух этих функций на одном общем графике поверхности в маткаде. Отдельно маткад их строит, при попытке построить вместе выдаёт ошибку. Но по порядку величин видно, что общих точек у данных функций нет.
Cкрин графика функции $f1$:

График функции $f2$:

2. Численный метод. Делал в матлабе. Из первого уравнения выразил $d_k$:

$$d_k=\frac{4^{\frac{1}3}\cdot b_i^{\frac{1}3}\cdot U_k^{\frac{2}3}\cdot \varepsilon_0^{\frac{1}3}\cdot (1+\gamma)^{\frac{1}3}}{j_k^{\frac{1}3}}$$

Заменил интеграл на сумму. Подставил $d_k$ во второе уравнение, упростил степень экспоненты:

$$\exp\left(-\frac{Bpd_k^2}{2U_k(x-d_k)}\right)$$

Вынес из-под знака суммы экспоненту:

$$\exp\left(-\frac{Bp}{2U_k}\right)$$

Поделил левую часть второго уравнения на эту экспоненту. По сути слева получилась функция от $U_k$. В матлабовском коде ниже она обозначена как $f0$.
Код из матлаба:

Используется синтаксис Matlab M

Dif1=1000;% задаём начальное значение, с которым будем сравнивать первый модуль разности
Ukmin=0;%определяем начальное минимальное значение напряжения
i=1;%задаем начальное значение индекса массива данных
for jk=0.000001:0.01:10 %для каждого jk 
    for deltaUk=0.00001:50:3000 %проходимся по всем значениям deltaUk
        %находим dk для определения максимального значения x
        dk=((4)^(1/3)*bi^(1/3)*deltaUk^(2/3)*eps0^(1/3)*(y+1)^(1/3))/(jk^(1/3));
        deltadk=0.01*dk;%определяем шаг изменения x
        Sum1=0;%задаём начальное значение суммы
        %в цикле производим суммирование по x
        for x=0:deltadk:dk
            f1=exp(-((dk^2)/(x-dk)));
            Sum1=Sum1+f1;
        end
        %считаем левую часть уравнения для данного значения deltaUk
        f0=(log(1+(1/y))*exp((B_const*p)/(2*deltaUk)))/(p*A_const);
        %ищем модуль разности правой и левой части
        Dif=abs(f0-Sum1);
        %при решении возникают бесконечности, исключаем их
        if (Dif == inf)
            continue;
        end
        %если разность для следующей итерации оказывается меньше предыдущей
        %заменяем значение Dif1 на новое, равное текущему Dif
        if (Dif<=Dif1)%при выполнении условия
            Dif1=Dif;
            Ukmin=deltaUk;%заменяем минимальное значение напряжения на текущее deltaUk
        end
    end
    %заполняем массив полученными значениями
    Mass(1,i)=jk;
    Mass(2,i)=Ukmin;
    Mass(3,i)=Dif1;
    i=i+1;%увеличиваем значение индекса массива на единицу
end

Ни один из этих способов не дал адекватных результатов. Разность между правой и левой частью во втором случае составляет 100, при равенстве левой части 0,29. То есть даже близко правая часть на всём диапазоне как $U_k$, так и $j_k$, не приближается по значениям к левой.
Закралось подозрение, что дело в константах, но опять же, как писал выше, перепроверял их, и не один раз.
Если есть кто-то, кто сталкивался с выводом зависимости $U_k$ от $j_k$ для тлеющего разряда, буду рад вашей помощи и советам.
В возможности решения данной задачи не сомневаюсь, поскольку, как уже писал выше, есть график ВАХ, построенный на основе вышеупомянутых уравнений.

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[photon]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: возвращено

[EUgeneUS]

1. Вам совершенно верно сказали, что интеграл не сходится.
2. Если после каких-то манипуляций он сошелся, значит манипуляции были ошибочными.
3. Вот Ваш интеграл в Вольфраме.
4. Как видим, в него вошел экспоненциальный интеграл $Ei(\frac{1}{x-1})$, которым пренебрегать нельзя

[AnatolyBa]

Хотелось бы разобраться в исходных формулах и предположениях.
В этом деле все очень приблизительно и попытка построения ВАХ на основании двух формул кажется несколько наивной.
Вот, например, мне кажется вы предполагаете распределение напряженности линейным $E=\frac{2 U_k}{d_k}\frac{x-d_k}{d_k}$ (почему?). И пытаетесь применить эмпирическую формулу для $\alpha$ в частности при $x=d_k$, $E=0$.
Вы получаете $\alpha=0$ , ну и как разряд может поддерживаться? Отсюда и расходящийся интеграл. Все это не имеет отношения к реальности

[optimden]

Линейное распределение основано на экспериментах Энгеля и Штенбека.

Второе уравнение получается после подстановки $\alpha$ в условие самостоятельности разряда:

$$\mu=\gamma(\exp(\int_o^{d_k} \alpha dx)-1)=1$$

Берётся следующее выражение для $\alpha$:

$$\alpha=pA\exp\left(-\frac{B}{\frac{E}{p}}\right)$$

Насчёт наивности попытки, такая попытка была осуществлена, как раз-таки Энгелем и Штенбеком. Но понятное дело, что они не приводят расчётных данных (координат точек), по которым строили график. Поэтому мне и понадобилось численно решить данную систему.

Вообще изначально передо мной стоит задача получить теоретическую формулу для построения ВАХ тлеющего разряда для гелий-неонового лазера. В силу большой длины разрядной трубки нельзя, конечно, использовать приближение Энгеля и Штенбека, согласно которому почти всё напряжение падает на прикатодной области. Однако я предполагал построить отдельно ВАХ для катодной области и области положительного столба, а затем на их основании построить общий график ВАХ всего промежутка.

Буду очень признателен, если вы подскажете, в каком ещё направлении можно искать, чтобы решить данную задачу.

P.S. В итоге на основании вышеприведённой системы уравнений смог построить ВАХ, но она противоречит реальности. Оказалось, что при подстановке в пособии, на которое я ориентировался, была допущена ошибка при подстановке, в итоге степень экспоненты осталась отрицательной, тогда как подстановка должна была изменить её на положительную.


Снятая на реальной установке ВАХ показывает небольшой спад напряжения по мере роста тока.

[AnatolyBa]

Моя настольная книга (хотя, честно говоря - много лет тому назад) - Райзер. Физика газового разряда.
Но конкретно тлеющим разрядом я не занимался всерьез.
Все же, несколько замечаний.
Как я понял - это у вас учебная задача. Тут я не могу сказать, что от вас преподаватели хотят.
Поначалу я решил, что задача "из жизни"
Я думаю, что здесь столько много факторов, что настоящую формулу для ВАХ так просто не построить

optimden в сообщении #1387214 писал(а):

Линейное распределение основано на экспериментах Энгеля и Штенбека.

На вашем же рисунке напряженность до нуля не доходит. И это принципиально - если вы применяете эмпирическую формулу для $\alpha$.
Вы можете аппроксимировать напряженность прямой доходящей до нуля, но в области малых $E$ как-то изменить формулу, а как - я не знаю.
Если же вы пользуетесь неизменной формулой - чисто формально у вас вылезают расходящиеся интегралы.
Райзер тоже говорит, что в прикатодной области напряженность падает почти линейно, может дойти до нуля и даже стать немного отрицательной в темной области.
Понятно, что в этом случае ваши формулы не применимы. Строго говоря, ваши формулы применимы не для тлеющего разряда а для, так называемого, темного таунсендовского

[optimden]

Задача учебная, более того, для дипломного проекта. Планируется построить модель газоразрядного промежутка в программе Comsol Multyphysics, получить картины распределения электронной плотности, потенциала и температуры. И построить там же ВАХ. А потом сравнить с реальной ВАХ, и построенной по теоретическим формулам. Т.е. теоретическая ВАХ не обязательно должна предельно приближаться к реальной, хотя это, наверное, и так понятно.
У Энгеля и Штенбека получился следующий график в безразмерных координатах:

Но нормальному тлеющему разряду здесь соответствует точка минимума на графике. Дальше из этой характеристики авторы получают формулы для вычисления нормального падения напряжения и нормальной плотности тока:

$$V_n=3\cdot\frac{B}{A}\ln(1+\frac{1}{\gamma})$$

$$j_n=5.35\cdot10^{-2}\frac{AB^2(bp)(1+\gamma)}{\ln(1+\frac{1}{\gamma})}p^2$$

Однако не очень понятно, как тогда будет выглядеть ВАХ для нормального разряда, если и нормальное падение, и нормальная плотность тока определяются только параметрами газа, работой выхода материала катода и давлением.
Разве что, падение напряжения, которое отмечается на реальной ВАХ при увеличении тока, вызвано процессами в положительном столбе... Но это не более, чем предположение.

[AnatolyBa]

Ага. Я немного освежил голову, почитал кое-что. Вижу, что написал не очень разумные вещи, не обращайте внимания.
Мне кажется, у вас ошибка в знаке. У вас предполагается $E=\frac{2 U_k}{d_k}\frac{x-d_k}{d_k}$, на самом деле нужно $E=\frac{2 U_k}{d_k}\frac{d_k-x}{d_k}$

[optimden]

Да, ошибку в формуле я исправил уже. Только поэтому и смог построить ВАХ, хоть она и получилась, вроде как, неправильной.
Почитал немного Райзера, он как раз и пишет, что напряжение разряда при неполностью занятом катоде, т.е. при нормальном разряде, не зависит от тока, и превышает нормальное падение напряжения, определяемое, в частности, из минимума безразмерной ВАХ Энгеля и Штеенбека, на значение падения напряжения на положительном столбе.
Я так понимаю, что у вас есть некоторый опыт работы с плазмой. Скажите, логично ли предположить, что спад реальной ВАХ тлеющего разряда определяется как раз положительным столбом?

[AnatolyBa]

Я привык к падающим ВАХ. Но сам работал с другими видами разряда (не тлеющим), где причины падения более ясны.
Что касается тлеющего разряда, то Райзер связывает падение ВАХ с температурными явлениями в положительном столбе.
Посмотрите параграф 7 в главе о тлеющем разряде (номер главы зависит от издания)

[optimden]

Спасибо. Как раз вчера, когда ещё раз посмотрел, что вы Райзера упоминали, решил поискать у него про положительный столб. А там и на причины падения ВАХ наткнулся.
А вы с какими разрядами работали, если не секрет?