2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Степеням двойки не бывать!
Сообщение06.04.2019, 23:57 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
а) Даны $n\geqslant 3$ попарно различных натуральных чисел. Докажите, что произведение их попарных сумм не может быть степенью двойки с натуральным показателем.

б) И не только степенью двойки, но и вообще степенью простого числа с натуральным показателем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеням двойки не бывать!
Сообщение07.04.2019, 03:30 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
Можно прямо в лоб: каждая из попарных сумм должна быть натуральной степенью простого числа, значит любые три исходных числа можно записать как $a,p^m-a,p^n-a$ и при этом $p^m+p^n-2a=p^s$. Это сразу дает $p=2$ и, если $n>m$, то должно быть $2^n+2^m>2^s>2^n-2^m$, что возможно только при $s=n$, а тогда два из трех исходных чисел равны

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеням двойки не бывать!
Сообщение07.04.2019, 08:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Просто наблюдение. В среде целых чисел решения есть: $(0,1,-2), (-1,3,5)$. Ну и умноженные на степени двойки.
Если бы было решение в натуральных, то существовало бы и решение из трёх нечётных. Ну и далее аналогичные рассуждения, как в предыдущем сообщении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеням двойки не бывать!
Сообщение09.04.2019, 19:20 


26/08/11
2110
Если для вещественных $0<a_1<a_2<a_3$ и натуральных $p,n$ выполняется $a_2+a_3=p^n$, то

$a_3> p^{n-1}$ и тогда

$p^{n-1}<a_1+a_3<p^n$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group