Степеням двойки не бывать!

[Ktina]

а) Даны $n\geqslant 3$ попарно различных натуральных чисел. Докажите, что произведение их попарных сумм не может быть степенью двойки с натуральным показателем.

б) И не только степенью двойки, но и вообще степенью простого числа с натуральным показателем.

[waxtep]

Можно прямо в лоб: каждая из попарных сумм должна быть натуральной степенью простого числа, значит любые три исходных числа можно записать как $a,p^m-a,p^n-a$ и при этом $p^m+p^n-2a=p^s$. Это сразу дает $p=2$ и, если $n>m$, то должно быть $2^n+2^m>2^s>2^n-2^m$, что возможно только при $s=n$, а тогда два из трех исходных чисел равны

[gris]

Просто наблюдение. В среде целых чисел решения есть: $(0,1,-2), (-1,3,5)$. Ну и умноженные на степени двойки.
Если бы было решение в натуральных, то существовало бы и решение из трёх нечётных. Ну и далее аналогичные рассуждения, как в предыдущем сообщении.

[Shadow]

Если для вещественных $0<a_1<a_2<a_3$ и натуральных $p,n$ выполняется $a_2+a_3=p^n$, то

$a_3> p^{n-1}$ и тогда

$p^{n-1}<a_1+a_3<p^n$