2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение31.03.2019, 23:10 


13/04/18
95
Цитата:
Сколькими способами можно выбрать первый вектор?
Исключаем нулевой, получается $q^2-1$
Цитата:
После того, как мы его выбрали - сколько у нас осталось линейно независимых с уже выбранным векторов?
Исключаем пропорциональные векторы, получается $q^2-1-q$
Получается всего базисов $(q^2-1)(q^2-1-q)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение31.03.2019, 23:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9214
Цюрих
starper в сообщении #1385142 писал(а):
Исключаем пропорциональные векторы, получается $q^2-1-q$
Разве? Подставьте $q = 2$, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение01.04.2019, 16:40 


13/04/18
95
mihaild
Видимо два раза нулевой вектор посчитал, правильно (q^2-q)(q^2-1)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение01.04.2019, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9214
Цюрих
А доказать можете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение01.04.2019, 18:23 


13/04/18
95
mihaild в сообщении #1385317 писал(а):
А доказать можете?

Пусть $[v]=(e_1, e_2)$ - базис 2-мерного пространства. Тогда любой вектор пространства можно выразить через линейную комбинацию $xe_1+ye_2$, где$ x $и $y$ - элементы поля, т.е. всего $q^2$ векторов. Выбираем из этого пространства любой ненулевой вектор (нулевой вектор не может быть в базисе) $q^2-1$ способом. Обозначим этот вектор $e_1$,Тогда любой вектор вида $ze_1$, где z - любой элемент поля не образует базис с вектором $e_1$, так как либо линейно зависим либо равен нулю. Соответственно любой другой вектор линейно не выражается через вектор $e_1$, а значит образует с ним базис.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение01.04.2019, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9214
Цюрих
Да, правильно. Для произвольной размерности понятно что делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение01.04.2019, 19:51 


13/04/18
95
mihaild
Так как каждый следующий вектор базиса не должен быть линейно зависим с предыдущими, то первый вектор базиса можно выбрать $ q^n-1$ способом, второй - $q^n-q$ способами, третий - $q^n-2q$... и в итоге в n-мерном пространстве $(q^n-1)(q^n-q)...(q^n-(n-1)q)$ базисов, правильно?

-- 01.04.2019, 20:22 --

Увидел ошибку, сейчас исправлю

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение01.04.2019, 21:02 


13/04/18
95
Так как каждый следующий вектор базиса не должен быть линейно зависим с системой предыдущих векторов, то первый вектор базиса можно выбрать $ q^n-1$ способом, второй - $q^n-q$ способами, третий - $q^n-q-2q$, отнимаем ещё 2q, так как столько векторов вида e_2 и (e_1+e_2), 4-й вектор можно выбрать ещё на 4q способами меньше векторов, - это и в итоге в n-мерном пространстве $(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q-2^1q)(q^n-q-(2^1+2^2)q)...(q^n-q-(2^1+...+2^\left\lbrace n-2\right\rbrace$$)q$ базисов (упорядоченных).

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение01.04.2019, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
starper в сообщении #1385340 писал(а):
третий - $q^n-2q$...

Не-е-ет, тут надо вычесть всё линейное подпространство, натянутое на первые два вектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение01.04.2019, 22:19 


13/04/18
95
Munin в сообщении #1385359 писал(а):
Не-е-ет, тут надо вычесть всё линейное подпространство, натянутое на первые два вектора.
Я в следующем сообщении учел это в исправленном решении

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение01.04.2019, 22:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9214
Цюрих
starper в сообщении #1385357 писал(а):
третий - $q^n-q-2q$

Почему? Вот у нас есть два линейно независимых вектора $u$ и $v$. Сколько векторов через них выражаются? Сколько векторов через них не выражаются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение01.04.2019, 22:56 


13/04/18
95
mihaild
Понял, выражаются $q^2 $ векторов, не выражаются $q^n-q^2$ векторов. Для n-мерного пространства число базисов q^n-q^{n-1}

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение01.04.2019, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9214
Цюрих
starper в сообщении #1385384 писал(а):
Для n-мерного пространства число базисов $q^n-q^{n-1}$

starper в сообщении #1385310 писал(а):
$(q^2-q)(q^2-1)$

Определитесь (и не забывайте правильно оформлять формулы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение02.04.2019, 00:41 


13/04/18
95
Прошу прощения, совсем запутался) Итак, 185-я попытка:1-й вектор выбираем $q^n-1$ способом, 2-й - $q^n-q$, 3-й - $q^n-q^2$, n-й - $q^n-q^{n-1}$ способом, то есть чтобы найти количество векторов которых можно поставить на k-е место, вычитаем из общего количества векторов пространства линейную оболочку, порожденную $k-1$ векторами. Таким образом, количество упорядоченных базисов в n-мерном пространстве: $(q^n-1)(q^n-q^2)...(q^n-q^{n-1})$. Чтобы получить количество неупорядоченных базисов домножаем это выражение на $n!$
Ну надеюсь теперь ничего не напутал?:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Число базисов векторного пространства над конечным полем
Сообщение02.04.2019, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9214
Цюрих
Да, так правильно. Старайтесь рассуждать аккуратнее и учитесь проверять свои рассуждения, в более сложных местах без этого будет совсем печально.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Ivan 09


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group