Число базисов векторного пространства над конечным полем

[starper]

Цитата:

Сколькими способами можно выбрать первый вектор?

Исключаем нулевой, получается $q^2-1$

Цитата:

После того, как мы его выбрали - сколько у нас осталось линейно независимых с уже выбранным векторов?

Исключаем пропорциональные векторы, получается $q^2-1-q$
Получается всего базисов $(q^2-1)(q^2-1-q)$?

[mihaild]

starper в сообщении #1385142 писал(а):

Исключаем пропорциональные векторы, получается $q^2-1-q$

Разве? Подставьте $q = 2$, например.

[starper]

mihaild
Видимо два раза нулевой вектор посчитал, правильно (q^2-q)(q^2-1)?

[mihaild]

А доказать можете?

[starper]

mihaild в сообщении #1385317 писал(а):

А доказать можете?

Пусть $[v]=(e_1, e_2)$ - базис 2-мерного пространства. Тогда любой вектор пространства можно выразить через линейную комбинацию $xe_1+ye_2$, где$ x $и $y$ - элементы поля, т.е. всего $q^2$ векторов. Выбираем из этого пространства любой ненулевой вектор (нулевой вектор не может быть в базисе) $q^2-1$ способом. Обозначим этот вектор $e_1$,Тогда любой вектор вида $ze_1$, где z - любой элемент поля не образует базис с вектором $e_1$, так как либо линейно зависим либо равен нулю. Соответственно любой другой вектор линейно не выражается через вектор $e_1$, а значит образует с ним базис.

[mihaild]

Да, правильно. Для произвольной размерности понятно что делать?

[starper]

mihaild
Так как каждый следующий вектор базиса не должен быть линейно зависим с предыдущими, то первый вектор базиса можно выбрать $ q^n-1$ способом, второй - $q^n-q$ способами, третий - $q^n-2q$... и в итоге в n-мерном пространстве $(q^n-1)(q^n-q)...(q^n-(n-1)q)$ базисов, правильно?

-- 01.04.2019, 20:22 --

Увидел ошибку, сейчас исправлю

[starper]

Так как каждый следующий вектор базиса не должен быть линейно зависим с системой предыдущих векторов, то первый вектор базиса можно выбрать $ q^n-1$ способом, второй - $q^n-q$ способами, третий - $q^n-q-2q$, отнимаем ещё 2q, так как столько векторов вида e_2 и (e_1+e_2), 4-й вектор можно выбрать ещё на 4q способами меньше векторов, - это и в итоге в n-мерном пространстве $(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q-2^1q)(q^n-q-(2^1+2^2)q)...(q^n-q-(2^1+...+2^\left\lbrace n-2\right\rbrace$$)q$ базисов (упорядоченных).

[Munin]

starper в сообщении #1385340 писал(а):

третий - $q^n-2q$...

Не-е-ет, тут надо вычесть всё линейное подпространство, натянутое на первые два вектора.

[starper]

Munin в сообщении #1385359 писал(а):

Не-е-ет, тут надо вычесть всё линейное подпространство, натянутое на первые два вектора.

Я в следующем сообщении учел это в исправленном решении

[mihaild]

starper в сообщении #1385357 писал(а):

третий - $q^n-q-2q$

Почему? Вот у нас есть два линейно независимых вектора $u$ и $v$. Сколько векторов через них выражаются? Сколько векторов через них не выражаются?

[starper]

mihaild
Понял, выражаются $q^2 $ векторов, не выражаются $q^n-q^2$ векторов. Для n-мерного пространства число базисов q^n-q^{n-1}

[mihaild]

starper в сообщении #1385384 писал(а):

Для n-мерного пространства число базисов $q^n-q^{n-1}$

starper в сообщении #1385310 писал(а):

$(q^2-q)(q^2-1)$

Определитесь (и не забывайте правильно оформлять формулы).

[starper]

Прошу прощения, совсем запутался) Итак, 185-я попытка:1-й вектор выбираем $q^n-1$ способом, 2-й - $q^n-q$, 3-й - $q^n-q^2$, n-й - $q^n-q^{n-1}$ способом, то есть чтобы найти количество векторов которых можно поставить на k-е место, вычитаем из общего количества векторов пространства линейную оболочку, порожденную $k-1$ векторами. Таким образом, количество упорядоченных базисов в n-мерном пространстве: $(q^n-1)(q^n-q^2)...(q^n-q^{n-1})$. Чтобы получить количество неупорядоченных базисов домножаем это выражение на $n!$
Ну надеюсь теперь ничего не напутал?:)

[mihaild]

Да, так правильно. Старайтесь рассуждать аккуратнее и учитесь проверять свои рассуждения, в более сложных местах без этого будет совсем печально.