2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение24.03.2019, 21:32 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
$\delta_2$ выбираем таким, чтобы выполнялось неравенство $3|xy| < \frac{\pi} 3$. Действуем точно так же, как и в случае с неравенством для тангенса.
oleg_2019 в сообщении #1383826 писал(а):
Если собрать написанное, то вроде так получается:
$|6xy|\le 3\sqrt{x^2+y^2}<3\delta^2=\varepsilon$.
Но у Вас опечатка. Должно быть $|6xy|\le 3(x^2+y^2) < \varepsilon$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение24.03.2019, 23:17 


23/03/19
42
Спасибо, но теперь это понял, а почему нельзя было просто оставить $\delta=\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{3}}$. Пока что не могу вообразить такую ситуацию, чтобы выбрали $\delta=\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{3}}$ и нарушилось неравенство $|\tg(3yx)|<\varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение24.03.2019, 23:19 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Ну возьмите $\varepsilon = 300$, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение25.03.2019, 00:58 


23/03/19
42
Пытаюсь понять - почему так вышло.

Если мы будем для всех $\varepsilon>0$ выбирать $\delta_1=\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$, то получится, что для всех точек, удовлетворяющих неравенству $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_1$, то есть при $3(x^2+y^2)<\varepsilon$ должно выполниться $|\tg(3xy)|<\varepsilon$
Мы знаем, что $3(x^2+y^2)\ge 6xy$, значит, при выбранном $\delta_1$ будет $|6xy|<\varepsilon$. Но для этого нам нужно, чтобы $|tg(3xy)|<|6xy|$, в таком случае окажется, что действительно $|\tg(3xy)|<\varepsilon$.
Мы выяснили, что оценка $|tg(3xy)|<|6xy|$ будет работать при $|3xy|<\frac{\pi}{3}$.
Выходит, что мы может брать $\delta_1=\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$, когда $|3xy|<\frac{\pi}{3}$. Осталось рассмотреть случай, когда данная оценка не работает, то есть, когда $|3xy|\ge \frac{\pi}{3}$. Рассмотрим этот случай.
То есть нам нужно подобрать $\delta_2(\varepsilon)>0$ для того случая, когда $|6xy|\ge \frac{2\pi}{3}$. Имеем, что $3x^2+3y^2\ge |6xy|\ge \frac{2\pi}{3}$
Тогда выходит, что $3\delta^2>\frac{2\pi}{3}$
Но это ничего не дает...

(Оффтоп)

Бредовые мысли:
Наша оценка для тангенса $|\tg(3xy)|<|6xy|$ работала в окрестности таких точек, для которых $|3xy|<\frac{\pi}{3}$, тогда получается, что при этом $|\tg(3xy)|<\frac{2\pi}{3}$

Но, мы еще оценили $6xy$ таким образом $|6xy|<3\delta^2$

То есть, с другой стороны, $|\tg(3xy)|<3\delta^2=\varepsilon$

У нас для любого $\varepsilon>0$ должно выполняться неравенство $|\tg(3xy)|<\varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение25.03.2019, 03:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Otta в сообщении #1383817 писал(а):
А вот как совсем непосредственно - это интересно.

А чего интересного? Совсем непосредственно - это просто по шагам доказательств непрерывности суперпозиции, произведения и частного, проследить выбор дельты, начиная с функций $\sin x, \, \cos x,\, (x,y)\to x,\, (x,y)\to y.$

-- Пн мар 25, 2019 07:39:07 --

oleg_2019 в сообщении #1383932 писал(а):
Если мы будем для всех $\varepsilon>0$ выбирать $\delta_1=\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$

То при неприлично больших $\varepsilon$ (см. пост выше) аргумент у тангенса получит непозволительную свободу передвижения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение25.03.2019, 09:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
oleg_2019 в сообщении #1383818 писал(а):

$|\dfrac{\sin 3xy}{\cos 3xy}<|\dfrac{3xy}{0.5}|=|6xy|$

чтобы модуль по размеру дроби был используйте
Код:
$\left|\dfrac{\sin 3xy}{\cos 3xy}\right|$
$\left|\dfrac{\sin 3xy}{\cos 3xy}\right|$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение25.03.2019, 10:45 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
oleg_2019 в сообщении #1383932 писал(а):
Если мы будем для всех $\varepsilon>0$ выбирать $\delta_1=\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$, то получится, что для всех точек, удовлетворяющих неравенству $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_1$, то есть при $3(x^2+y^2)<\varepsilon$ должно выполниться $|\tg(3xy)|<\varepsilon$
Мы знаем, что $3(x^2+y^2)\ge 6xy$, значит, при выбранном $\delta_1$ будет $|6xy|<\varepsilon$. Но для этого нам нужно, чтобы $|\tg(3xy)|<|6xy|$, в таком случае окажется, что действительно $|\tg(3xy)|<\varepsilon$.
Мы выяснили, что оценка $|\tg(3xy)|<|6xy|$ будет работать при $|3xy|<\frac{\pi}{3}$.
Выходит, что мы может брать $\delta_1=\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$, когда $|3xy|<\frac{\pi}{3}$.
Этого достаточно. Остаётся все условия преобразовать к виду
oleg_2019 в сообщении #1383747 писал(а):
Тогда нужно, чтобы $\forall \varepsilon>0$ должно $\exists \delta (\varepsilon)>0$ $:$ для точек, удовлетворяющих $\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ выполнялось неравенство $|\tg(3xy)|<\varepsilon$.
Здесь есть только $\delta$ и нет никакого дополнительного условия вида $|3xy|<\frac{\pi}{3}$. Последнее условие можно преобразовать к виду $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_2$. Тогда Вы получили, что если $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_2$, то для точек $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_1$ выполняется $|\tg(3xy)|<\varepsilon$. Выбирая $\delta = \min \left( \delta_1, \delta_2\right)$, получим: для точек, удовлетворяющих $\sqrt{x^2+y^2}<\delta$, выполняется неравенство $|\tg(3xy)|<\varepsilon$. Всё.

Вроде ничего важного/интересного в разбор этого (конкретного) примера добавить не получится. Нужно все аккуратно записать. Дополнительные идеи, подходы и советы только затруднят понимание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение25.03.2019, 12:44 


23/03/19
42
GAA в сообщении #1383982 писал(а):
Здесь есть только $\delta$ и нет никакого дополнительного условия вида $|3xy|<\frac{\pi}{3}$. Последнее условие можно преобразовать к виду $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_2$


В любом случае, у нас выполняется условие $|6xy|\le 3(x^2+y^2)$ и хотелось бы, чтобы выполнялось $ |6xy|<\frac{2\pi}{3}$ , которое вы говорите, что можно свести к $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_2$

Попробую, рассмотрю случаи.

1) $\frac{2\pi}{3}> 3(x^2+y^2)$

В этой ситуации $ |6xy|\le 3(x^2+y^2)<\frac{2\pi}{3}$ (*)

И для любого $\varepsilon>0$ можно выбрать $\delta=\delta_2$. При этом будет выполняться неравенство (*)

Но что будет происходить с $\varepsilon$?Попробуем разобраться.

В этом случае у нас $ |\tg(3xy)|<|6xy|\le 3(x^2+y^2)<\frac{2\pi}{3}$

Теперь весь вопрос в том, какой $\varepsilon$ мы взяли.

Может быть несколько вариантов.

$ |\tg(3xy)|<\varepsilon\le |6xy|\le 3(x^2+y^2)<\frac{2\pi}{3}$

$ |\tg(3xy)|< |6xy|\le \varepsilon\le 3(x^2+y^2)<\frac{2\pi}{3}$

$ |\tg(3xy)|< |6xy|\le 3(x^2+y^2)\le \varepsilon<\frac{2\pi}{3}$

$ |\tg(3xy)|< |6xy|\le 3(x^2+y^2)<\frac{2\pi}{3}\le \varepsilon$

Неужели все эти варианты нужно рассматривать?

2) $|6xy|\le \frac{2\pi}{3}\le 3(x^2+y^2)<3\delta^2$

В этом случае у нас $ |\tg(3xy)|<|6xy|\le \frac{2\pi}{3}\le 3(x^2+y^2)<3\delta^2$

Теперь весь вопрос в том, какой $\varepsilon$ мы взяли. Здесь тоже много ситуаций будет.


3) $\frac{2\pi}{3}\le|6xy|\le 3(x^2+y^2)<3\delta^2$

Здесь тоже много ситуаций.

Мне кажется, что я иду не тем путем

-- 25.03.2019, 13:46 --

GAA в сообщении #1383982 писал(а):
. Тогда Вы получили, что если $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_2$, то для точек $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_1$ выполняется $|\tg(3xy)|<\varepsilon$

Вот это, я не очень понял, если честно. Почему так получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение25.03.2019, 13:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
oleg_2019 в сообщении #1384026 писал(а):
Почему так получается?

$|\tg 3xy|<|6xy|<\varepsilon$. Первое неравенство выполнено в одной дельта-окрестности, второе - в другой.
В меньшей из них выполнены оба.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение25.03.2019, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5493
Нов-ск
oleg_2019 в сообщении #1384026 писал(а):
Мне кажется, что я иду не тем путем

Мне тоже так кажется. Если "Преподаватель сказал, что нужно расписать на языке эпислон-дельта", то это не значит, что необходимо указать, чему равет дельта для заданного эпсилон. Достаточно просто доказать, что существует подходящий дельта для заданного эпсилон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение25.03.2019, 15:26 


23/03/19
42
bot в сообщении #1384036 писал(а):
oleg_2019 в сообщении #1384026 писал(а):
Почему так получается?

$|\tg 3xy|<|6xy|<\varepsilon$. Первое неравенство выполнено в одной дельта-окрестности, второе - в другой.
В меньшей из них выполнены оба.

Правильно ли я понимаю, что $|\tg 3xy|<|6xy|\le 3(x^2+y^2)<3\delta_1^2\le \varepsilon$ (+)

Получается, что первые два неравенства неравенства выполняются в меньшей из двух окрестностей, третье уже доказывали. А дальше, выбирая $\varepsilon$, мы подбираем наименьшую из $\delta$ из $\delta_1$ и $\delta_2$, тогда у нас будет вся цепочка (+) содержать верные знаки неравенств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение25.03.2019, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Может и правильно, но из Ваших слов этого не видно. Вы вставили неравенство, истинное при всех действительных $x,y$, перепутав нумерацию, но опустив важные связующие слова.

Покажите окрестности, в которых выполнены неравенства
а) $|\tg 3xy|<|6xy|$
б) $|6xy|< \varepsilon$
Куда здесь надо вставить неравенство $2|xy|\leqslant x^2+y^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение25.03.2019, 18:31 


23/03/19
42
Пусть $\rho=\rho(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$
a) Данное неравенство выполняется при $|3xy|<\frac{\pi}{3}$
Тогда окрестность можно подобрать так из условия: $|6xy|\le 3(x^2+y^2) <\frac{2\pi}{3}$
Если $3\rho^2<\frac{2\pi}{3}$ (то есть $\rho<\frac{\sqrt{2\pi}}{9}$), то $\tg(3x)<6x$.
b) $|6xy|<\varepsilon$
Берем также $|6xy|\le 3\rho^2<\varepsilon$. Тогда $\rho<\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$

Вот кажется и получилось. Правильно ли теперь? Извините за то, что дико туплю*

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение25.03.2019, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Теперь так, но в части б) всё как то задом наперёд
oleg_2019 в сообщении #1384088 писал(а):
Тогда $\rho<\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$

Наоборот, если $\rho<\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$, а неравенство $|6xy|\le 3\rho^2<\varepsilon$ не берём, а оно будет тогда, что и требуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и длина дуги.
Сообщение25.03.2019, 19:26 


23/03/19
42
Спасибо большое, разобрался!

(Оффтоп)

Расписал это все красиво!
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Евгений Машеров


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group