Непрерывность и длина дуги.

[GAA]

$\delta_2$ выбираем таким, чтобы выполнялось неравенство $3|xy| < \frac{\pi} 3$. Действуем точно так же, как и в случае с неравенством для тангенса.

oleg_2019 в сообщении #1383826 писал(а):

Если собрать написанное, то вроде так получается:
$|6xy|\le 3\sqrt{x^2+y^2}<3\delta^2=\varepsilon$.

Но у Вас опечатка. Должно быть $|6xy|\le 3(x^2+y^2) < \varepsilon$.

[oleg_2019]

Спасибо, но теперь это понял, а почему нельзя было просто оставить $\delta=\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{3}}$. Пока что не могу вообразить такую ситуацию, чтобы выбрали $\delta=\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{3}}$ и нарушилось неравенство $|\tg(3yx)|<\varepsilon$

[Otta]

Ну возьмите $\varepsilon = 300$, например.

[oleg_2019]

Пытаюсь понять - почему так вышло.

Если мы будем для всех $\varepsilon>0$ выбирать $\delta_1=\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$, то получится, что для всех точек, удовлетворяющих неравенству $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_1$, то есть при $3(x^2+y^2)<\varepsilon$ должно выполниться $|\tg(3xy)|<\varepsilon$
Мы знаем, что $3(x^2+y^2)\ge 6xy$, значит, при выбранном $\delta_1$ будет $|6xy|<\varepsilon$. Но для этого нам нужно, чтобы $|tg(3xy)|<|6xy|$, в таком случае окажется, что действительно $|\tg(3xy)|<\varepsilon$.
Мы выяснили, что оценка $|tg(3xy)|<|6xy|$ будет работать при $|3xy|<\frac{\pi}{3}$.
Выходит, что мы может брать $\delta_1=\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$, когда $|3xy|<\frac{\pi}{3}$. Осталось рассмотреть случай, когда данная оценка не работает, то есть, когда $|3xy|\ge \frac{\pi}{3}$. Рассмотрим этот случай.
То есть нам нужно подобрать $\delta_2(\varepsilon)>0$ для того случая, когда $|6xy|\ge \frac{2\pi}{3}$. Имеем, что $3x^2+3y^2\ge |6xy|\ge \frac{2\pi}{3}$
Тогда выходит, что $3\delta^2>\frac{2\pi}{3}$
Но это ничего не дает...

(Оффтоп)

Бредовые мысли:
Наша оценка для тангенса $|\tg(3xy)|<|6xy|$ работала в окрестности таких точек, для которых $|3xy|<\frac{\pi}{3}$, тогда получается, что при этом $|\tg(3xy)|<\frac{2\pi}{3}$

Но, мы еще оценили $6xy$ таким образом $|6xy|<3\delta^2$

То есть, с другой стороны, $|\tg(3xy)|<3\delta^2=\varepsilon$

У нас для любого $\varepsilon>0$ должно выполняться неравенство $|\tg(3xy)|<\varepsilon$

[bot]

Otta в сообщении #1383817 писал(а):

А вот как совсем непосредственно - это интересно.

А чего интересного? Совсем непосредственно - это просто по шагам доказательств непрерывности суперпозиции, произведения и частного, проследить выбор дельты, начиная с функций $\sin x, \, \cos x,\, (x,y)\to x,\, (x,y)\to y.$

-- Пн мар 25, 2019 07:39:07 --

oleg_2019 в сообщении #1383932 писал(а):

Если мы будем для всех $\varepsilon>0$ выбирать $\delta_1=\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$

То при неприлично больших $\varepsilon$ (см. пост выше) аргумент у тангенса получит непозволительную свободу передвижения.

[alcoholist]

oleg_2019 в сообщении #1383818 писал(а):

$|\dfrac{\sin 3xy}{\cos 3xy}<|\dfrac{3xy}{0.5}|=|6xy|$

чтобы модуль по размеру дроби был используйте

$\left|\dfrac{\sin 3xy}{\cos 3xy}\right|$

$\left|\dfrac{\sin 3xy}{\cos 3xy}\right|$

[GAA]

oleg_2019 в сообщении #1383932 писал(а):

Если мы будем для всех $\varepsilon>0$ выбирать $\delta_1=\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$, то получится, что для всех точек, удовлетворяющих неравенству $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_1$, то есть при $3(x^2+y^2)<\varepsilon$ должно выполниться $|\tg(3xy)|<\varepsilon$
Мы знаем, что $3(x^2+y^2)\ge 6xy$, значит, при выбранном $\delta_1$ будет $|6xy|<\varepsilon$. Но для этого нам нужно, чтобы $|\tg(3xy)|<|6xy|$, в таком случае окажется, что действительно $|\tg(3xy)|<\varepsilon$.
Мы выяснили, что оценка $|\tg(3xy)|<|6xy|$ будет работать при $|3xy|<\frac{\pi}{3}$.
Выходит, что мы может брать $\delta_1=\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$, когда $|3xy|<\frac{\pi}{3}$.

Этого достаточно. Остаётся все условия преобразовать к виду

oleg_2019 в сообщении #1383747 писал(а):

Тогда нужно, чтобы $\forall \varepsilon>0$ должно $\exists \delta (\varepsilon)>0$ $:$ для точек, удовлетворяющих $\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ выполнялось неравенство $|\tg(3xy)|<\varepsilon$.

Здесь есть только $\delta$ и нет никакого дополнительного условия вида $|3xy|<\frac{\pi}{3}$. Последнее условие можно преобразовать к виду $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_2$. Тогда Вы получили, что если $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_2$, то для точек $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_1$ выполняется $|\tg(3xy)|<\varepsilon$. Выбирая $\delta = \min \left( \delta_1, \delta_2\right)$, получим: для точек, удовлетворяющих $\sqrt{x^2+y^2}<\delta$, выполняется неравенство $|\tg(3xy)|<\varepsilon$. Всё.

Вроде ничего важного/интересного в разбор этого (конкретного) примера добавить не получится. Нужно все аккуратно записать. Дополнительные идеи, подходы и советы только затруднят понимание.

[oleg_2019]

GAA в сообщении #1383982 писал(а):

Здесь есть только $\delta$ и нет никакого дополнительного условия вида $|3xy|<\frac{\pi}{3}$. Последнее условие можно преобразовать к виду $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_2$

В любом случае, у нас выполняется условие $|6xy|\le 3(x^2+y^2)$ и хотелось бы, чтобы выполнялось $ |6xy|<\frac{2\pi}{3}$ , которое вы говорите, что можно свести к $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_2$

Попробую, рассмотрю случаи.

1) $\frac{2\pi}{3}> 3(x^2+y^2)$

В этой ситуации $ |6xy|\le 3(x^2+y^2)<\frac{2\pi}{3}$ (*)

И для любого $\varepsilon>0$ можно выбрать $\delta=\delta_2$. При этом будет выполняться неравенство (*)

Но что будет происходить с $\varepsilon$?Попробуем разобраться.

В этом случае у нас $ |\tg(3xy)|<|6xy|\le 3(x^2+y^2)<\frac{2\pi}{3}$

Теперь весь вопрос в том, какой $\varepsilon$ мы взяли.

Может быть несколько вариантов.

$ |\tg(3xy)|<\varepsilon\le |6xy|\le 3(x^2+y^2)<\frac{2\pi}{3}$

$ |\tg(3xy)|< |6xy|\le \varepsilon\le 3(x^2+y^2)<\frac{2\pi}{3}$

$ |\tg(3xy)|< |6xy|\le 3(x^2+y^2)\le \varepsilon<\frac{2\pi}{3}$

$ |\tg(3xy)|< |6xy|\le 3(x^2+y^2)<\frac{2\pi}{3}\le \varepsilon$

Неужели все эти варианты нужно рассматривать?

2) $|6xy|\le \frac{2\pi}{3}\le 3(x^2+y^2)<3\delta^2$

В этом случае у нас $ |\tg(3xy)|<|6xy|\le \frac{2\pi}{3}\le 3(x^2+y^2)<3\delta^2$

Теперь весь вопрос в том, какой $\varepsilon$ мы взяли. Здесь тоже много ситуаций будет.


3) $\frac{2\pi}{3}\le|6xy|\le 3(x^2+y^2)<3\delta^2$

Здесь тоже много ситуаций.

Мне кажется, что я иду не тем путем

-- 25.03.2019, 13:46 --

GAA в сообщении #1383982 писал(а):

. Тогда Вы получили, что если $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_2$, то для точек $\sqrt{x^2+y^2}<\delta_1$ выполняется $|\tg(3xy)|<\varepsilon$

Вот это, я не очень понял, если честно. Почему так получается?

[bot]

oleg_2019 в сообщении #1384026 писал(а):

Почему так получается?

$|\tg 3xy|<|6xy|<\varepsilon$. Первое неравенство выполнено в одной дельта-окрестности, второе - в другой.
В меньшей из них выполнены оба.

[TOTAL]

oleg_2019 в сообщении #1384026 писал(а):

Мне кажется, что я иду не тем путем

Мне тоже так кажется. Если "Преподаватель сказал, что нужно расписать на языке эпислон-дельта", то это не значит, что необходимо указать, чему равет дельта для заданного эпсилон. Достаточно просто доказать, что существует подходящий дельта для заданного эпсилон.

[oleg_2019]

bot в сообщении #1384036 писал(а):

oleg_2019 в сообщении #1384026 писал(а):

Почему так получается?

$|\tg 3xy|<|6xy|<\varepsilon$. Первое неравенство выполнено в одной дельта-окрестности, второе - в другой.
В меньшей из них выполнены оба.

Правильно ли я понимаю, что $|\tg 3xy|<|6xy|\le 3(x^2+y^2)<3\delta_1^2\le \varepsilon$ (+)

Получается, что первые два неравенства неравенства выполняются в меньшей из двух окрестностей, третье уже доказывали. А дальше, выбирая $\varepsilon$, мы подбираем наименьшую из $\delta$ из $\delta_1$ и $\delta_2$, тогда у нас будет вся цепочка (+) содержать верные знаки неравенств?

[bot]

Может и правильно, но из Ваших слов этого не видно. Вы вставили неравенство, истинное при всех действительных $x,y$, перепутав нумерацию, но опустив важные связующие слова.

Покажите окрестности, в которых выполнены неравенства
а) $|\tg 3xy|<|6xy|$
б) $|6xy|< \varepsilon$
Куда здесь надо вставить неравенство $2|xy|\leqslant x^2+y^2$?

[oleg_2019]

Пусть $\rho=\rho(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$
a) Данное неравенство выполняется при $|3xy|<\frac{\pi}{3}$
Тогда окрестность можно подобрать так из условия: $|6xy|\le 3(x^2+y^2) <\frac{2\pi}{3}$
Если $3\rho^2<\frac{2\pi}{3}$ (то есть $\rho<\frac{\sqrt{2\pi}}{9}$), то $\tg(3x)<6x$.
b) $|6xy|<\varepsilon$
Берем также $|6xy|\le 3\rho^2<\varepsilon$. Тогда $\rho<\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$

Вот кажется и получилось. Правильно ли теперь? Извините за то, что дико туплю*

[bot]

Теперь так, но в части б) всё как то задом наперёд

oleg_2019 в сообщении #1384088 писал(а):

Тогда $\rho<\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$

Наоборот, если $\rho<\sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}$, а неравенство $|6xy|\le 3\rho^2<\varepsilon$ не берём, а оно будет тогда, что и требуется.

[oleg_2019]

Спасибо большое, разобрался!

(Оффтоп)

Расписал это все красиво!