Непрерывность и длина дуги.

[oleg_2019]

Доброго времени суток! Помогите, пожалуйста, разобраться.

1) Найти длину кривой, ограниченной $\rho=4(1-cos\phi)$.

Правильно ли я составил интеграл? $L=2\displaystyle\int_0^\pi\sqrt{(16(1-\cos \phi)^2+16\sin^2\phi}\;d\phi$

2) Исследовать функцию $f(x,y)=\tg(3xy)$ на непрерывность в точке $(0;0)$

Преподаватель сказал, что нужно расписать на языке эпислон-дельта.

Я понимаю, что функция будет непрерывна в начале координат, если $\displaystyle\lim_{x\to 0, y\to 0}\tg(3xy)=\tg 0=0$.

Тогда нужно, чтобы $\forall \varepsilon>0$ должно $\exists \delta (\varepsilon)>0$ $:$ для точек, удовлетворяющих $\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ выполнялось неравенство $|tg(3xy)|<\varepsilon$.

Но такую зависимость $\delta(\varepsilon)$ мне не придумать.

И еще возникает у нас ограничение $3xy\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n$ для целых $n$. Видимо это нужно учесть как-то, чтобы дельта окрестность не залезла в область, где функция не определена.
Как ограничить тангенс - ума не приложу... В правильном ли я направлении?

[svv]

По первому вопросу — да, правильно, только под корнем первая открывающая скобка лишняя.

У Вас для первого сообщения неплохой $\TeX$. Чтобы греческая буква "фи" выглядела более привычно ($\varphi$), наберите \varphi.

[thething]

По второму вопросу: докажите по определению, что $3xy\to0$ при $x,y\to0$.

Ну а сам тангенс можно по определению расписать, а потом уже оценивать.

[GAA]

По второму вопросу. Тангенс выпукл вниз и при стремлении аргумента к нулю эквивалентен аргументу, а неравенство может быть взято достаточно грубым. Я бы попробовал неравенство $|\tg u |< 2|u|$, при $|u|<\pi/4$. (Двойка взята просто так. Может быть другой коэффициент будет предпочтительней, но особого смысла мне не видно.) А дальше получил бы неравенство для $|u|$ через $\rho^$ c некоторым коэффициентом, для этого воспользовался бы неравенствами $(x+y)^2 \ge 0$ и $(x-y)^2 \ge 0$.

[oleg_2019]

svv в сообщении #1383756 писал(а):

У Вас для первого сообщения неплохой $\TeX$. Чтобы греческая буква "фи" выглядела более привычно ($\varphi$), наберите \varphi.

Хорошо, спасибо, понятно.

-- 24.03.2019, 15:27 --

Цитата:

По второму вопросу: докажите по определению, что $3xy\to0$ при $x,y\to0$

Это несложно, спасибо.

$3xy\le 3\cdot \dfrac{x^2+y^2}{2}=\dfrac{3\delta^2}{2}$

Тогда берем $\varepsilon =\dfrac{3\delta^2}{2}$. Чтд.(детали могу расписать, если нужно, но я их понимаю.

thething в сообщении #1383764 писал(а):

Ну а сам тангенс можно по определению расписать, а потом уже оценивать.

А как именно? Я могу только снизу оценить таким образом.

$|\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}\le |\dfrac{1}{\cos 3x}|<\varepsilon$

Тогда $|\cos(3x)|>\dfrac{1}{\varepsilon}$

Но эта оценка мало что дает...

-- 24.03.2019, 15:31 --

GAA в сообщении #1383766 писал(а):

По второму вопросу. Тангенс выпукл вниз и при стремлении аргумента к нулю эквивалентен аргументу, а неравенство может быть взято достаточно грубым. Я бы попробовал неравенство $|\tg u |< 2|u|$, при $|u|<\pi/4$. (Двойка взята просто так. Может быть другой коэффициент будет предпочтительней, но особого смысла мне не видно.) А дальше получил бы неравенство для $|u|$ через $\rho^$ c некоторым коэффициентом, для этого воспользовался бы неравенствами $(x+y)^2 \ge 0$ и $(x-y)^2 \ge 0$.

Спасибо. Тогда можно сделать так $\tg(3x)< 6x\le 3(x^2+y^2)=3\delta^2$, тогда берем $\varepsilon=3\delta^2$. Но ведь как-то нужно обосновать коэффициент 2. Но как?

[Otta]

oleg_2019 в сообщении #1383802 писал(а):

Тогда берем $\varepsilon =\dfrac{3\delta^2}{2}$.

Берут не эпсилон. Эпсилон произвольно. Наоборот, нужно по произвольному эпсилон восстановить подходящее дельта.

oleg_2019 в сообщении #1383802 писал(а):

Но как?

Указание было:

GAA в сообщении #1383766 писал(а):

Тангенс выпукл вниз

Обоснуйте. И воспользуйтесь для построения оценки.
Только он не на всем предложенном интервале

GAA в сообщении #1383766 писал(а):

$|u|<\pi/4$

выпукл вниз, будьте внимательней. Но это и не надо.

[GAA]

Otta, да, пропустил условие. Спасибо.

-- Sun 24.03.2019 14:10:56 --

Вообще пару строк пропутил, т.к. очевидны.

[oleg_2019]

Тангенс выпукл вниз на $[0;\frac{\pi}{2})$, вверх $[-\frac{\pi}{2};0]$. Это определяется по знаку второй производной тангенса. Это я понимаю. Но как это применить. Да, если тангенс на $[0;\frac{\pi}{2})$ лежит ниже секущей. Да, можно взять некую секущую от $0$ до $z_0$ и сразу получить линейную оценку сверху. Но это на $[0;\frac{\pi}{2})$. Но эта же оценка, вроде как сгодится и на $[-\frac{\pi}{2};0]$. Получается $\tg(z)\le kz$. Правильно ли это?

-- 24.03.2019, 16:29 --

Otta в сообщении #1383807 писал(а):

Берут не эпсилон. Эпсилон произвольно. Наоборот, нужно по произвольному эпсилон восстановить подходящее дельта.

Спасибо, да, действительно! Тогда просто из этой формулы нужно будет выразить дельта!

[Otta]

oleg_2019 в сообщении #1383813 писал(а):

Да, можно взять некую секущую от $0$ до $z_0$ и сразу получить линейную оценку сверху. Но это на $[0;\frac{\pi}{2})$.

Ну вот и берите хорду, соединяющую точки $0$ и $\pi /4$, например. Получится некое неравенство на соотв. промежутке. Какое?

[thething]

oleg_2019 в сообщении #1383802 писал(а):

А как именно? Я могу только снизу оценить таким образом.

$|\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}\le |\dfrac{1}{\cos 3x}|<\varepsilon$

Тогда $|\cos(3x)|>\dfrac{1}{\varepsilon}$

Но эта оценка мало что дает...

Зря вы от синуса так лихо избавляетесь. Его можно оценивать не так грубо. Обратный косинус тоже оценить можно, только для этого надо отделиться от плохой точки. Но поскольку непрерывность -- локальное свойство, то это сделать тоже можно.

[Otta]

(в сторону)

На самом деле, и то плохо, и это плохо. Для выпуклости уже нужна непрерывность, а обосновывать непрерывность, ссылаясь на дважды дифференцируемость, какой-то дурной тон.
Второй способ не намного лучше: задействована ссылка на непрерывность, правда, элементарной функции - но ведь и тангенс элементарен.

А вот как совсем непосредственно - это интересно.

[oleg_2019]

Тогда на промежутке от $-\dfrac{\pi}{3}\le 3xy\le \dfrac{\pi}{3}$ будет работать оценка

$|\dfrac{\sin 3xy}{\cos 3xy}<|\dfrac{3xy}{0.5}|=|6xy|$

А будет она работать, так как решение неравенства $|\cos 3xy|\ge 0,5$ будет $-\dfrac{\pi}{3}\le 3xy\le \dfrac{\pi}{3}$, ну и $\sin x<x$ (это можно обосновать также, как в док-ве первого замечательного предела.

Можно так?

-- 24.03.2019, 17:00 --

Otta в сообщении #1383817 писал(а):

(в сторону)

На самом деле, и то плохо, и это плохо. Для выпуклости уже нужна непрерывность, а обосновывать непрерывность, ссылаясь на дважды дифференцируемость, какой-то дурной тон.
Второй способ не намного лучше: задействована ссылка на непрерывность, правда, элементарной функции - но ведь и тангенс элементарен.

А вот как совсем непосредственно - это интересно.

А если нарисовать график тангенса, будет ли это обоснованием его выпуклости вверх/вниз.

[Otta]

oleg_2019 в сообщении #1383818 писал(а):

$\sin x<x$

Модули навесьте.

oleg_2019 в сообщении #1383818 писал(а):

А если нарисовать график тангенса, будет ли это обоснованием его выпуклости вверх/вниз.

Нет.

[GAA]

(Otta)

Непрерывность для тангенса — это раздел «функции одного независимого переменного». Его непрерывность, производная выпуклость и т.п. уже должны быть рассмотрены ранее. А пример на тему «предел и непрерывность функции многих независимых переменных». Если же у Вас другой план изложения материала (сразу для функций многих независимых переменных), то огласите последовательность изложения материала.

[thething]

Otta
А я недопонял, где ссылка на непрерывность, если просто тупо оценки.

(Оффтоп)

напали, называется:)