Оптимизация функционала

[Lex060770]

Здравствуйте, столкнулся с вопросом оптимизации функционала:

$\(J(f(t),k_i))=\sum\limits_{1}^{N}\int\limits_{t_0}^{t_n}\left\lvert\\g(t)-k_if(t)\right\rvert\to\min\limits_{f(t),k_i}$


Функция $\\g(t)$ - кусочнопостоянная, определена в каждый момент t.
Изначально первым приближением рассматривался случай, когда коэффициенты $\\k_i\ne1$, вполне понятно. Очевидно так же, что минимум существует, т.к. наш функционал- выпуклая функция.
Возникает два вопроса:
1) Где можно посмотреть оптимизацию подобных функционалов ?
2) Какими методами можно подобраться к решению при не равных 1 коэффициентах

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Евгений Машеров]

Что-то непонятное. Или функция $f(t)$ должна быть какого-то специального вида?
Покамест $f(t)=\frac 1 k g(t)$, $k_i=k \ne 1$ даёт minimum minimorum, равный нулю...

[EUgeneUS]

Евгений Машеров
Если $k_i$ не одинаковые, то ноль не получается

[Lex060770]

Допустил фатальную ошибку, $\\g(t)$ на самом деле $\\g_i(t)$ и задача принимает вид

$$\\J(f(t),k_i)=\sum\limits_{1}^{N}\int\limits_{t_0}^{t_n}\left\lvert\\g_i(t)-k_if(t)\right\rvert\to\min\limits_{f(t),k_i}$$

остальные условия остаются такими же

[Iam]

Lex060770, есть вопросы:
1. $g_i(t) $- кусочно-постоянна, надо понимать, на отрезках интегрирования; тогда почему не записать просто $g_i$;
2. но тогда зачем нужна$ f(t)$, если можно выбирать $k_i=g_i$?
Что-то похоже на задачу регулирования с идеальным контуром и скачками процесса g(t).

[Евгений Машеров]

EUgeneUS в сообщении #1382976 писал(а):

Если $k_i$ не одинаковые, то ноль не получается

Такое условие, неравенство k, не оговорено.

[EUgeneUS]

Евгений Машеров
так и равенство не оговорено. А индекс в обозначении как бы намекает, что они могут быть разными.
Я понял условие так, что нужно изменять только $f(t)$.
Иначе в первом варианте, действительно тривиально получается.
Впрочем, судя по обозначению в стартовом посте, $k_i$ можно изменять.

[Null]

$\min\limits_{f(t),k_i}$ означает что $f$ и $k_i$ - переменные по которым ищем минимум. Вы не можете их фиксировать.

[Евгений Машеров]

Ну вот с дополнением, что $g_i(t)$, вообще говоря, разные, уже появляется простор для оптимизации.
Если все k одинаковы, не теряя общности, $k_i=1$, то оптимальная $f(t)$ будет медианой от $g_i(t)$. Задача незначительно усложняется, если заданы неравные k. Тогда надо искать взвешенную медиану.
https://en.wikipedia.org/wiki/Weighted_median
Если k не заданы и подлежат подбору - тут уже хуже. Бросается в глаза источник неопределённости - можно пропорционально изменять все k и обратно пропорционально им $f(t)$, не меняя функционала.
Надо зафиксировать либо одно из $k_i$, либо их сумму (сумму квадратов etc.), смотря что удобнее для оптимизации.
Для заданной $f(t)$ поиск оптимального $k_i$ может делаться для каждого i по отдельности обычной одномерной оптимизацией по $k_i$. Для квадратичного функционала совсем просто, но абсолютная величина при попытке продифференцировать показывает разрывный signum, и что-то простое аналитическое выражение не вытанцовывается, но численная одномерная оптимизация работать должна (для квадратичного функционала и поиск $f(t)$ при заданных коэффициентах становится тривиален, взвешенное среднее арифметическое).
Возможный, но не гарантирующий глобального оптимума путь - начать с $k_i=1$, оценить $f(t)$, затем оптимизировать по $k_i$, вновь $f(t)$ и так "до полного удовлетворения". Возможна расходимость и весьма вероятно "застревание" в локальном оптимуме.
Ещё один путь - ввести случайный поиск, набросать значений $k_i$, и повторять, вычисляя функционал и смотря на его убывание при повторных "набросах". Тут есть шанс не пропустить глобальный оптимум, но не его точное значение, а область, в которой он лежит. Возможно, после "наброса" и нахождения $f(t)$ попробовать улучшить $k_i$.