Ну вот с дополнением, что
, вообще говоря, разные, уже появляется простор для оптимизации.
Если все k одинаковы, не теряя общности,
, то оптимальная
будет медианой от
. Задача незначительно усложняется, если заданы неравные k. Тогда надо искать взвешенную медиану.
https://en.wikipedia.org/wiki/Weighted_medianЕсли k не заданы и подлежат подбору - тут уже хуже. Бросается в глаза источник неопределённости - можно пропорционально изменять все k и обратно пропорционально им
, не меняя функционала.
Надо зафиксировать либо одно из
, либо их сумму (сумму квадратов etc.), смотря что удобнее для оптимизации.
Для заданной
поиск оптимального
может делаться для каждого i по отдельности обычной одномерной оптимизацией по
. Для квадратичного функционала совсем просто, но абсолютная величина при попытке продифференцировать показывает разрывный signum, и что-то простое аналитическое выражение не вытанцовывается, но численная одномерная оптимизация работать должна (для квадратичного функционала и поиск
при заданных коэффициентах становится тривиален, взвешенное среднее арифметическое).
Возможный, но не гарантирующий глобального оптимума путь - начать с
, оценить
, затем оптимизировать по
, вновь
и так "до полного удовлетворения". Возможна расходимость и весьма вероятно "застревание" в локальном оптимуме.
Ещё один путь - ввести случайный поиск, набросать значений
, и повторять, вычисляя функционал и смотря на его убывание при повторных "набросах". Тут есть шанс не пропустить глобальный оптимум, но не его точное значение, а область, в которой он лежит. Возможно, после "наброса" и нахождения
попробовать улучшить
.