Решение системы многочленов 3-й степени

[ewert]

kusaeva в сообщении #1382779 писал(а):

Тогда получим:
$ \left\{ \begin{gathered} y^2 = x^3 - 3x^2+2x \\ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x^2 = 0 \\ y^2 = 0 \\ (x + y - 2)^2 = 0 \\ \end{gathered} \right. \end{gathered} \end{gathered}\right. $

Нижняя (сиречь внутренняя) скобка -- неправильной формы. При каком условии сумма неотрицательных слагаемых даёт ноль?...

(Оффтоп)

Да боже ж мой. Что с движком? Почему в который уже раз честное, мышкой копирование и в правильном месте -- даёт нелепый результат?...

[Mihr]

Поскольку здесь уже есть практически полное решение, сделаю одно замечание. Оно относится к уравнению
$x^2+xy+y^2-2(x+y)+2=0$
Можно, конечно, показать, что оно не имеет решений, представив его левую часть в виде суммы квадратов, как это сделано выше. Но, по-моему, проще и изящнее поступить так: переписать его в виде
$x^2+x(y-2)+(y^2-2y+2)=0$
и рассмотреть как квадратное уравнение относительно $x$, где $y$ - параметр. Несложно проверить, что его дискриминант отрицателен при любых значениях $y$, так что оно не имеет решений.

[TR63]

Mihr в сообщении #1382817 писал(а):

$x^2+xy+y^2-2(x+y)+2=0$
Можно, конечно, показать, что оно не имеет решений

Fedorov в сообщении #1382690 писал(а):

можно записать в виде $\quad$$(y-1)^2+(x-1)^2+xy=0$, где все три слагаемые неотрицательны.
Значит, других решений нет.

То, что $xy\ge0$, следует из области определения системы:

kusaeva в сообщении #1382538 писал(а):

$\begin{cases} y^2= x^3 - 3x^2 + 2x & \\ x^2 = y^3 - 3y^2 + 2y \end{cases}$

$(x;y)$ не могут быть отрицательными, т.к. иначе правые части в системе отрицательны, как сумма трёх отрицательных, а левые части положительны как квадраты действительных чисел (если решение ищется в действительных числах). Произведение двух неотрицательных неотрицательно. Т.е. $xy\ge0$.

[kusaeva]

ewert в сообщении #1382782 писал(а):

При каком условии сумма неотрицательных слагаемых даёт ноль?...

Когда каждое из слагаемых равно нулю – выходит, фигурная скобка должна быть.

Mihr
А вот насчет проще и изящнее:
$D = (y-2)^2 - 4(y^2 - 2y + 2) \geqslant 0 \Leftrightarrow 4(y-1) \geqslant 3y^2 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{y - 1}{3}} \geqslant \frac{y}{2}$

Последнее выражение $\sqrt{\frac{y - 1}{3}} \geqslant \frac{y}{2}$ достаточно противоречиво, чтоб считать его доказательством отрицательности дискриминанта?

TR63

Спасибо за пояснение про область определения, теперь стало понятно

[Mihr]

kusaeva,
вероятно, Вы не поняли, что я хочу сказать. Ещё раз, подробнее: рассматриваем уравнение
$x^2+(y-2)x+(y^2-2y+2)=0$
как квадратное относительно $x$, причём $y$ - параметр.
Дискриминант этого уравнения равен
$D=(y-2)^2-4(y^2-2y+2)=-3y^2+4y-4$
(очевидные преобразования я опустил). Легко видеть, что $D(y)$ есть квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом и отрицательным старшим коэффициентом, следовательно, он принимает лишь отрицательные значения. Значит, при каком угодно действительном $y$ выполняется неравенство $D(y)<0$, и рассматриваемое уравнение
$x^2+(y-2)x+(y^2-2y+2)=0$
решений не имеет.
На мой взгляд, такое решение для школьника проще, чем выделение полных квадратов, которое нужно ещё разыскать. Здесь мы ничего не ищем, решаем квадратное уравнение стандартным методом - "через дискриминант".

[kusaeva]

Mihr
да, я так и решала, просто не знала, что так

Цитата:

квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом и отрицательным старшим коэффициентом, следовательно, он принимает лишь отрицательные значения.

можно доказать отрицательность. Это как-то называется, какая-то теорема?

[Lia]

kusaeva
Параболу никогда не строили с отрицательным старшим коэффициентом и отрицательным дискриминантом? Попробуйте построить.

[Mihr]

Графически, конечно, нагляднее. Но можно обойтись и без рисунка. Рассуждаем так:
1. Квадратный трёхчлен имеет отрицательный дискриминант - значит, он нигде не обращается в ноль, то есть, сохраняет знак. Иными словами, он может принимать или только положительные значения или только отрицательные.
2. Старший коэффициент отрицателен - значит, при достаточно больших по модулю значениях аргумента функция отрицательна. А раз она сохраняет знак, она всюду отрицательна.

Но с картинкой проще, согласен. Парабола не пересекает ось абсцисс (так как $D<0$), её ветви направлены вниз (так как $a<0$). Значит, она целиком лежит в нижней полуплоскости (ниже оси абсцисс).

[kusaeva]

А-а, парабола же!

Lia, Mihr, спасибо!