Решение системы многочленов 3-й степени

[ewert]

kusaeva в сообщении #1382688 писал(а):

И вот дальше у меня сомнения, корректно ли, считая $x = y $ одним из решений, также подставить $x$ вместо $y$ в первое уравнение исходной системы и просто решить его относительно $x$?

Я так сделала, получились решения (0, 0), (2 - $\sqrt{2}$, 2 - $\sqrt{2}), ($2 + \sqrt{2}$, 2 + $\sqrt{2}$), но в ответе не уверена

Правильно. И что значит "корректно", если это просто вынужденный шаг.

Только словесное оформление неправильное: $x=y$ -- это не одно из решений, а одно из ответвлений решения. Т.е. "или $x=y$, и тогда..., или $x\neq y$, и тогда..."

Fedorov в сообщении #1382690 писал(а):

Второе можно записать в виде $\quad$$(y-1)^2+(x-1)^2+xy=0$, где все три слагаемые неотрицательны.

Почему все три-то. А вот $(x+y-2)^2$ там бросается в глаза.

[Fedorov]

ewert
Вы, батенька, что-то нелепое написали. Что вам там бросилось в глаза?

[kusaeva]

Fedorov
а $xy$ неотрицательно, потому что $x = y$?

[ewert]

Fedorov в сообщении #1382700 писал(а):

Что вам там бросилось в глаза?

Что неполный квадрат суммы -- это некоторая комбинация полного квадрата суммы, суммы квадратов и произведения. Комбинаций может быть много (примерно три из числа идейных). И вот ровно одна из этих трёх здесь и оказывается выгодной. Но не Ваша.

Зато я, кажется, понял, что Вы имели в виду под неотрицательностью всех Ваших слагаемых. Что, дескать, $x=y$. Да вот беда: на самом-то деле здесь всё наоборот...

[Mihr]

kusaeva в сообщении #1382688 писал(а):

сумма двух исходных уравнений разложилась на систему

Вообще-то, здесь должна была идти речь не о системе, а о совокупности уравнений. И, по-хорошему, нужно ещё доказать, что второе уравнение совокупности не может быть выполнено ни при каких действительных значениях $x,y$, так что остаётся лишь одна возможность: $x=y$. После того условие $x=y$ можно подставить в любое из уравнений исходной системы и получить ответ.
Наиболее сложной, наиболее содержательной частью решения является, по-моему, исследование второго уравнения написанной Вами "системы" (в действительности, как я уже сказал, здесь должен быть знак совокупности, а не системы). Если Вы не доказали, что это равенство невыполнимо ни при каких действительных $x,y$, то исходную задачу Вы недорешали.

[GAA]

Мне понравился способ решения, указанный Someone. Спасибо!

Второй множитель (первый — это $x-y$) второго первого уравнения после замены $x+y = u$, $xy=v$ примет вид

$$u^2-2u+2-v=0, \qquad (1)$$

а первое второе уравнение

$$u(u^2-3v) - 4(u^2-2v)+2u=0. \qquad (2)$$

Выразив из первого уравнения $v$ и подставив во второе уравнение, получим

$u^3-5u^2+10u-8=0.$

Корень $u_1 = 2$ легко подбирается, а само уравнение можно записать в виде

$(u - 2)(u^2-3u+4)=0.$

Корню $u_1=2$ соответствует $v_1=2$, и, возвращаясь к исходным переменным,

$y_4 = 1+i$, $x_4= 1-i$, $y_5 = 1-i$, $x_5 = 1+i.$

Остаётся найти решения, соответствующие корням $u_2 = \frac {3 +\sqrt{7}i} 2$, $u_3 = \frac {3 - \sqrt{7}i} 2$.

Редактирование. У Someone другая нумерация уравнений. Приведено в соответствие с его нумерацией.

[Fedorov]

ewert в сообщении #1382704 писал(а):

Зато я, кажется, понял, что Вы имели в виду под неотрицательностью всех Ваших слагаемых. Что, дескать, $x=y$. Да вот беда: на самом-то деле здесь всё наоборот...

Ну, что вы несёте? Неужели трудно спросить, если что не ясно?

$ y^2= x (x-1) (x-2) \geqslant0 \quad \Rightarrow\quad x \in [ 0; 1 ]\cup&[ 2; \infty ) $

[Lia]

Fedorov
Обоснуйте. И выбирайте выражения.

[Fedorov]

kusaeva в сообщении #1382702 писал(а):

а $xy$ неотрицательно, потому что $x = y$?

Потому, что

$ y^2= x (x-1) (x-2) \geqslant0 \quad \Rightarrow\quad x \in [ 0; 1 ]\cup&[ 2; \infty ) $

-- Пн мар 18, 2019 21:36:39 --

Fedorov в сообщении #1382755 писал(а):

Обоснуйте. И выбирайте выражения.

Что ещё обосновать?
Не учите, что и как выбирать. Посылы почитайте, модератор.

[Lia]

Fedorov в сообщении #1382755 писал(а):

Не учите, что и как выбирать.

Fedorov
Предупреждение за некорректный стиль ведения дискуссии и препирательство с модератором в теме.

-- 18.03.2019, 22:45 --

Возражения ewert относились к фразе:

Fedorov в сообщении #1382690 писал(а):

Второе уравнение вашей системы можно записать в виде $(y-1)^2+(x-1)^2+xy=0$, где все три слагаемые неотрицательны.

Почему они все три неотрицательны?

[Fedorov]

Lia в сообщении #1382756 писал(а):

Fedorov
Предупреждение за некорректный стиль ведения дискуссии и препирательство с модератором в теме.

Ой! Не обижайте! Я заплачу.
Не надо унтерпришибеевские замашки выставлять. И справедливость надо соблюдать, коли вам власть дана.
А не размахивать своей властной дубинкой ...

-- Пн мар 18, 2019 21:50:06 --

Lia в сообщении #1382756 писал(а):

Почему они все три неотрицательны?

Я написал. Что тут может быть не ясно?

[Lia]

Fedorov в сообщении #1382757 писал(а):

И справедливость надо соблюдать, коли вам власть дана.

В порядке соблюдения справедливости: Fedorov, бан 3 суток за хамство и обсуждение модерирования в непредназначенном для этого разделе.

[Someone]

kusaeva в сообщении #1382688 писал(а):

Большое всем спасибо за помощь.

Воспользовалась советом Mihr, сумма двух исходных уравнений разложилась на систему:

$ \begin{equation*} \begin{cases} x = y \\ x^2 + y^2 + x*y - 2*(x+y) + 2 = 0 \end{cases} \end{equation*} $

Это Вы взяли разность исходных уравнений и разложили на множители? И из этих множителей составили систему? Это неправильный способ решения.

Если в исходной системе все члены перенести в левую часть уравнений, то её можно записать в виде

$$\begin{cases}f(x,y)=0,\\ f(y,x)=0.\end{cases}$$

Вычитая и складывая эти уравнения, получим систему

$$\begin{cases}f(x,y)-f(y,x)=0,\\ f(x,y)+f(y,x)=0,\end{cases}$$

равносильную исходной. (Почему?)
Второе уравнение, как Вы сами сказали, симметрическое.
Если в первое уравнение подставить $x=y$, то получится $0=0$, поэтому его левая часть делится на $x-y$. Обозначим частное $g(x,y)$. Многочлен $g(x,y)$ является симметрическим. (Почему?)
Система теперь имеет вид

$$\begin{cases}(x-y)g(x,y)=0,\\ f(x,y)+f(y,x)=0.\end{cases}$$

Так как первое уравнение распадается в совокупность двух уравнений, то вся система распадается в совокупность двух систем:

$$\begin{cases}x-y=0,\\ f(x,y)+f(y,x)=0\end{cases}\qquad\text{и}\qquad\begin{cases}g(x,y)=0,\\ f(x,y)+f(y,x)=0.\end{cases}$$

Вы же ухитрились составить систему $\begin{cases}x-y=0,\\ g(x,y)=0,\end{cases}$ что, очевидно, неправильно.

P.S. "Звёздочка" в качестве знака умножения в математике не употребляется. Если это не вызывает недоразумений, умножение обозначается просто записью сомножителей рядом (например, $xy$). Если же знак умножения нужен, то используют точку "$\cdot$" (например, $x\cdot y$) или косой крест "$\times$" (например, $x\times y$).

[ewert]

Как-то всё запущено. Да, с подачи ТС, но и дальше тоже. Между тем всё, что нужно -- это минимальная самодисциплина с выбором скобочек (вполне себе стандартно школьная, как и сама задачка -- если не углубляться в комплексные решения):

$\left\{\begin{matrix}y^2=x^3-3x^2+2x\\x^2=y^3-3y^2+2y\end{matrix}\right.\ \Leftrightarrow\ \left\{\begin{matrix}y^2=x^3-3x^2+2x\\0=(x^3-y^3)-2(x^2-y^2)+2(x-y)\end{matrix}\right.\ \Leftrightarrow\ $

$\Leftrightarrow\ \left\{\begin{matrix}y^2=x^3-3x^2+2x\\\left[\begin{matrix}x=y\\0=x^2+xy+y^2-2(x+y)+2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\ \Leftrightarrow\ \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y^2=x^3-3x^2+2x\\x=y\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y^2=x^3-3x^2+2x\\0=x^2+xy+y^2-2(x+y)+2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\ \Leftrightarrow\ $

$\Leftrightarrow\ \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^3-4x^2+2x=0\\x=y\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y^2=x^3-3x^2+2x\\0=\frac12(x^2+y^2+(x+y-2)^2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

-- всё шаблонно. Разве что до самого первого шага (вычитание) и последнего (выделение полного квадрата) можно не сразу додуматься, но и эти два приёма вполне школьно-стандартны. Нужна лишь элементарная дисциплина.

[kusaeva]

Что запущено, это точно...

ewert, я правильно поняла, что пока что я верно решила первую систему совокупности и осталось решить вторую?

Тогда получим:
$ \left\{ \begin{gathered} y^2 = x^3 - 3x^2+2x \\ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x^2 = 0 \\ y^2 = 0 \\ (x + y - 2)^2 = 0 \\ \end{gathered} \right. \end{gathered} \end{gathered} $

С нулями вроде понятно, а если подставить $y = 2 - x$ в первое уравнение, представленное в виде множителей, как писал Fedorov получим:

$y^2 = x^3 - 3x^2+2x \Leftrightarrow (2-x)^2 = x(x-2)(x-1) \Leftrightarrow x-2 = x(x-1) \Leftrightarrow x^2 -2x + 2 $

У последнего уравнения нет действительных корней, поэтому ответ остается прежним