Решение системы многочленов 3-й степени

[kusaeva]

Подскажите, пожалуйста, в каком разделе алгебры искать подход к решению такой системы?

$\begin{cases} y^2= x^3 - 3x^2 + 2x & \\ x^2 = y^3 - 3y^2 + 2y \end{cases}$

Удалось заметить, что если сложить уравнения, можно получить симметрический многочлен, но что делать дальше – ума не приложу.
Подскажите, куда копать?

[Mihr]

По-моему, если не сложить уравнения, а вычесть, что-то должно получиться. Попробуйте.

[Fedorov]

Предъявляем решение $y=x$. Проверяем, что других нет.

[ewert]

Fedorov в сообщении #1382594 писал(а):

Предъявляем решение $y=x$. Проверяем, что других нет.

Это ещё не решение, а так да.

[Fedorov]

ewert в сообщении #1382597 писал(а):

Это ещё не решение, а так да.

Кто мешает? Решайте. В чем проблема?

[optimist]

Если разрешены комплексные значения $x$ и $y$, то кроме $x=y$ есть еще решения.

[Igrickiy(senior)]

kusaeva в сообщении #1382538 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, в каком разделе алгебры искать подход к решению такой системы?

В.Г. Болтянский,
Н.Я. Виленкин
Симметрия в алгебре
Москва МЦНМО 2002

Fedorov в сообщении #1382594 писал(а):

Проверяем, что других нет.

Можно проверить, является ли что-то решением, но проверить, что других решений нет невозможно.
Такая "проверка" должна быть доказательством.
А это две большие разницы.
Вот система:
$x+xy+y=5$
$x^3+x^3y^3+y^3=17$
Полная симметрия, но...
Симметрия как свойство системы позволяет утверждать лишь, что пары $(x;y)$ будут симметричны. Не более.

[Mihr]

Igrickiy(senior) в сообщении #1382652 писал(а):

Можно проверить, является ли что-то решением, но проверить, что других решений нет невозможно.
Такая "проверка" должна быть доказательством.

Может, не будем начинать здесь спор о словах? Какой в этом смысл? Можно привести несколько вполне строгих решений этой задачи. Среди них, как минимум, два элементарных (средствами школьной алгебры). Любое из них можно обозвать, если хочется, и "проверкой", и "доказательством", только вот что от этого меняется?

[Someone]

Схема решения может быть такой.
1) Данную систему заменяем равносильной, в которой первое уравнение является разностью заданных уравнений, а второе — суммой. Всё переносим в левую часть. Второе уравнение, как уже замечено, симметрическое.
2) В первом уравнении левая часть разлагается на два множителя. Первый — это $(x-y)$, а второй является симметрическим многочленом. Поэтому данная система распадается на две системы, одна из которых (с уравнением $x=y$) сводится к легко решаемому уравнению третьей степени, а вторая симметрическая.
3) В симметрической системе делаем стандартную замену неизвестных $x+y=u$, $xy=v$, и получаем систему из двух уравнений, одно из которых второй степени, а другое — третьей.
4) Выражаем $v$ из уравнения второй степени и подставляем в уравнение третьей степени. В полученном уравнении один корень легко подбирается, после чего всё легко решается.

[ewert]

Someone в сообщении #1382660 писал(а):

3) В симметрической системе делаем стандартную замену неизвестных $x+y=u$, $xy=v$, и получаем систему из двух уравнений, одно из которых второй степени, а другое — третьей.

Напрасно мы это делаем -- там легко усматривается сумма трёх квадратов.

[Mihr]

(Оффтоп)

Мне кажется, мои варианты решения несколько короче.

[dmd]

Результант создаёт полином одной из переменных, который гарантированно содержит все корни этой переменной плюс возможно лишние



Думаю, результант для простых систем можно вычислить вручную, т.к. в нём элементарные матричные операции.


Или результант можно заменить многократным делением полиномов с остатком, в итоге числитель всегда будет идентичен результанту

[Igrickiy(senior)]

Mihr
Спор заводить не буду: не в характере. Следить за словоупотреблением буду всегда. Мы не на заваленке.

[kusaeva]

Большое всем спасибо за помощь.

Воспользовалась советом Mihr, сумма двух исходных уравнений разложилась на систему:

$ \begin{equation*} \begin{cases} x = y \\ x^2 + y^2 + x*y - 2*(x+y) + 2 = 0 \end{cases} \end{equation*} $

я подставила $x$ вместо $y$ во второе уравнение, действительных корней не нашлось.
И вот дальше у меня сомнения, корректно ли, считая $x = y $ одним из решений, также подставить $x$ вместо $y$ в первое уравнение исходной системы и просто решить его относительно $x$?

Я так сделала, получились решения (0, 0), (2 - $\sqrt{2}$, 2 - $\sqrt{2}), ($2 + \sqrt{2}$, 2 + $\sqrt{2}$), но в ответе не уверена

[Fedorov]

kusaeva в сообщении #1382688 писал(а):

я подставила $x$ вместо $y$ во второе уравнение, действительных корней не нашлось.
И вот дальше у меня сомнения, корректно ли, считая $x = y $ одним из решений, также подставить $x$ вместо $y$ в первое уравнение исходной системы и просто решить его относительно $x$?

Зачем?
Нашли решения \quad$ x=y$.
Второе уравнение вашей системы можно записать в виде $\quad$$(y-1)^2+(x-1)^2+xy=0$, где все три слагаемые неотрицательны.
Значит, других решений нет.