2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Восстановить функцию по образу Фурье
Сообщение16.03.2019, 22:32 


16/03/19
4
Есть образ Фурье функции:

$\hat{f}(\lambda) = c^{-\frac{\lambda^2}{2}}$

Нужно восстановить функцию по Фурье-образу.

Что попробовал (скорее всего не имел права так делать, но других идей всё равно нет): использовал классическое решение нахождения Фурье-образа этой функции, но наоборот: взял производную по $x$ от функции $f(x)$ и от её выражения через преобразование Фурье, проинтегрировал по частям (промежуточные выкладки писать довольно долго, сложно и бессмысленно, потому как перепроверил несколько раз, но могу попробовать, если кому-то понадобится для понимания проблемы), свёл к Эйлерову интегралу:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\cdot \pi}} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\lambda^2}{2} + ix\lambda} d\lambda$

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{i}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \lambda \cdot e^{-\frac{\lambda^2}{2} + ix\lambda} d\lambda$

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \lambda \cdot e^{-\frac{\lambda^2}{2} + ix\lambda} d\lambda$ = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\lambda^2}{2}} d\lambda = \sqrt{2 \pi}$

Но ответ выходит следующий:

$f(x) = xi$, что очевидный бред с учётом того, что искомая функция совпадает со своим образом Фурье.

Подскажите, пожалуйста, в правильном ли я направлении двигался, и если нет, то что мне следует попробовать для решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить функцию по образу Фурье
Сообщение16.03.2019, 22:46 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Ну это же собственная функция преобразования Фурье. Вы можете просто найти в любом учебнике, как это делается (УрЧП, УМФ, матан, функан и т.п.). Стандартный способ: выделить полный квадрат, свести в комплексной плоскости к интегралу по замкнутому контуру и т.д.

Откуда у Вас такой ответ - неясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить функцию по образу Фурье
Сообщение16.03.2019, 22:54 


16/03/19
4
Otta в сообщении #1382354 писал(а):
Ну это же собственная функция преобразования Фурье. Вы можете просто найти в любом учебнике, как это делается (УрЧП, УМФ, матан, функан и т.п.). Стандартный способ: выделить полный квадрат, свести в комплексной плоскости к интегралу по замкнутому контуру и т.д.

Откуда у Вас такой ответ - неясно.


Например какой учебник? В моём вузовском этого нет, только теоретические доказательства, а в методичке по решению задач такой способ не рассматривается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить функцию по образу Фурье
Сообщение16.03.2019, 23:05 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
В Зориче смотрели, второй том?

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить функцию по образу Фурье
Сообщение16.03.2019, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Otta в сообщении #1382354 писал(а):
Стандартный способ: выделить полный квадрат, свести в комплексной плоскости к интегралу по замкнутому контуру и т.д.
Или проверить, что $u=e^{-\tfrac{x^2}{2}}$ удовлетворяет $u'=-xu$ и перейти к преобразованию Фурье.

mnogoshchuk
Третья строчка рассуждений ошибочна

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить функцию по образу Фурье
Сообщение16.03.2019, 23:09 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
mnogoshchuk
Да, в Зориче как раз дифференцированием по параметру. Посмотрите, если не найдете ошибку.

-- 17.03.2019, 01:11 --

(Оффтоп)

Red_Herring
Ну я так привык :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить функцию по образу Фурье
Сообщение16.03.2019, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1382363 писал(а):
Ну я так привык

У нас, поскольку преобразование Фурье читается для нематематиков в курсе УЧП, а в своей инфинитезимальной мудрости составители планов не включили КП даже в качестве кореквизита, только этот способ и возможен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить функцию по образу Фурье
Сообщение17.03.2019, 00:36 


16/03/19
4
Otta в сообщении #1382361 писал(а):
В Зориче смотрели, второй том?


Посмотрел, про выделение полного квадрата ничего не нашёл, про дифференцирование - только то же самое, что уже пытался использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить функцию по образу Фурье
Сообщение17.03.2019, 00:43 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Ну правильно, осталось только найти ошибку в собственных рассуждениях. Вам Red_Herring уже на нее указал, можете свериться еще с Зоричем.

А ТФКП у Вас точно была?

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить функцию по образу Фурье
Сообщение17.03.2019, 01:10 


16/03/19
4
Otta в сообщении #1382390 писал(а):
Ну правильно, осталось только найти ошибку в собственных рассуждениях. Вам Red_Herring уже на нее указал, можете свериться еще с Зоричем.

А ТФКП у Вас точно была?


Была.

Так Зорич мне ничем не поможет, там обратная задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить функцию по образу Фурье
Сообщение17.03.2019, 01:15 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Так интеграл-то того же вида, как не поможет. Вы же сами видите, что он такой же. Ну вместо плюса минус стоит перед мнимой единицей, ну и что?
Найти-то я найду, во Владимирове, кажется, есть другой способ. Но и так решается.

-- 17.03.2019, 03:28 --

Владимиров, Уравнения математической физики, гл. II, параграф 9, п. 6. Там с помощью ТФКП.

Но тоже прямое преобразование Фурье. Обратное - аналогично. Из прямого вообще легко сделать обратное и наоборот, простой заменой переменной, даже в общем случае, а тут функция такая хорошая, четная.

Можно, конечно, и не обращать на это внимание, а просто повторить рассуждения, по аналогии. Они без труда переносятся.
А можно и воспользоваться. Без разницы, на мой взгляд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить функцию по образу Фурье
Сообщение17.03.2019, 10:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
mnogoshchuk
То, о чём говорила Otta (утверждение из ТФКП, полезное и само по себе): если функция $f(z)$ регулярна в полосе $-a<\operatorname{Im} z<a$ и $f(z)\to0$ при $z\to\infty$, $-a<\operatorname{Im} z<a$, а интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ сходится, то для всех $\alpha\in(-a,a)$ справедливо равенство $\int\limits_{i\alpha-\infty}^{i\alpha+\infty}f(z)dz=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$. Доказывается просто. Если посмотрите во Владимирове свой частный случай, то общий при необходимости докажете по аналогии. В частности, это помогает считать такие интегралы, как, например, $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\cos\alpha xdx$...

Поэтому Вам остаётся только выделить в экспоненте полный квадрат, сделать замену переменной и воспользоваться данным утверждением.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group