Восстановить функцию по образу Фурье

[mnogoshchuk]

Есть образ Фурье функции:

$\hat{f}(\lambda) = c^{-\frac{\lambda^2}{2}}$

Нужно восстановить функцию по Фурье-образу.

Что попробовал (скорее всего не имел права так делать, но других идей всё равно нет): использовал классическое решение нахождения Фурье-образа этой функции, но наоборот: взял производную по $x$ от функции $f(x)$ и от её выражения через преобразование Фурье, проинтегрировал по частям (промежуточные выкладки писать довольно долго, сложно и бессмысленно, потому как перепроверил несколько раз, но могу попробовать, если кому-то понадобится для понимания проблемы), свёл к Эйлерову интегралу:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\cdot \pi}} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\lambda^2}{2} + ix\lambda} d\lambda$

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{i}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \lambda \cdot e^{-\frac{\lambda^2}{2} + ix\lambda} d\lambda$

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \lambda \cdot e^{-\frac{\lambda^2}{2} + ix\lambda} d\lambda$ = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\lambda^2}{2}} d\lambda = \sqrt{2 \pi}$

Но ответ выходит следующий:

$f(x) = xi$, что очевидный бред с учётом того, что искомая функция совпадает со своим образом Фурье.

Подскажите, пожалуйста, в правильном ли я направлении двигался, и если нет, то что мне следует попробовать для решения.

[Otta]

Ну это же собственная функция преобразования Фурье. Вы можете просто найти в любом учебнике, как это делается (УрЧП, УМФ, матан, функан и т.п.). Стандартный способ: выделить полный квадрат, свести в комплексной плоскости к интегралу по замкнутому контуру и т.д.

Откуда у Вас такой ответ - неясно.

[mnogoshchuk]

Otta в сообщении #1382354 писал(а):

Ну это же собственная функция преобразования Фурье. Вы можете просто найти в любом учебнике, как это делается (УрЧП, УМФ, матан, функан и т.п.). Стандартный способ: выделить полный квадрат, свести в комплексной плоскости к интегралу по замкнутому контуру и т.д.

Откуда у Вас такой ответ - неясно.

Например какой учебник? В моём вузовском этого нет, только теоретические доказательства, а в методичке по решению задач такой способ не рассматривается.

[Otta]

В Зориче смотрели, второй том?

[Red_Herring]

Otta в сообщении #1382354 писал(а):

Стандартный способ: выделить полный квадрат, свести в комплексной плоскости к интегралу по замкнутому контуру и т.д.

Или проверить, что $u=e^{-\tfrac{x^2}{2}}$ удовлетворяет $u'=-xu$ и перейти к преобразованию Фурье.

mnogoshchuk
Третья строчка рассуждений ошибочна

[Otta]

mnogoshchuk
Да, в Зориче как раз дифференцированием по параметру. Посмотрите, если не найдете ошибку.

-- 17.03.2019, 01:11 --

(Оффтоп)

Red_Herring
Ну я так привык

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1382363 писал(а):

Ну я так привык

У нас, поскольку преобразование Фурье читается для нематематиков в курсе УЧП, а в своей инфинитезимальной мудрости составители планов не включили КП даже в качестве кореквизита, только этот способ и возможен.

[mnogoshchuk]

Otta в сообщении #1382361 писал(а):

В Зориче смотрели, второй том?

Посмотрел, про выделение полного квадрата ничего не нашёл, про дифференцирование - только то же самое, что уже пытался использовать.

[Otta]

Ну правильно, осталось только найти ошибку в собственных рассуждениях. Вам Red_Herring уже на нее указал, можете свериться еще с Зоричем.

А ТФКП у Вас точно была?

[mnogoshchuk]

Otta в сообщении #1382390 писал(а):

Ну правильно, осталось только найти ошибку в собственных рассуждениях. Вам Red_Herring уже на нее указал, можете свериться еще с Зоричем.

А ТФКП у Вас точно была?

Была.

Так Зорич мне ничем не поможет, там обратная задача.

[Otta]

Так интеграл-то того же вида, как не поможет. Вы же сами видите, что он такой же. Ну вместо плюса минус стоит перед мнимой единицей, ну и что?
Найти-то я найду, во Владимирове, кажется, есть другой способ. Но и так решается.

-- 17.03.2019, 03:28 --

Владимиров, Уравнения математической физики, гл. II, параграф 9, п. 6. Там с помощью ТФКП.

Но тоже прямое преобразование Фурье. Обратное - аналогично. Из прямого вообще легко сделать обратное и наоборот, простой заменой переменной, даже в общем случае, а тут функция такая хорошая, четная.

Можно, конечно, и не обращать на это внимание, а просто повторить рассуждения, по аналогии. Они без труда переносятся.
А можно и воспользоваться. Без разницы, на мой взгляд.

[thething]

mnogoshchuk
То, о чём говорила Otta (утверждение из ТФКП, полезное и само по себе): если функция $f(z)$ регулярна в полосе $-a<\operatorname{Im} z<a$ и $f(z)\to0$ при $z\to\infty$, $-a<\operatorname{Im} z<a$, а интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ сходится, то для всех $\alpha\in(-a,a)$ справедливо равенство $\int\limits_{i\alpha-\infty}^{i\alpha+\infty}f(z)dz=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$. Доказывается просто. Если посмотрите во Владимирове свой частный случай, то общий при необходимости докажете по аналогии. В частности, это помогает считать такие интегралы, как, например, $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\cos\alpha xdx$...

Поэтому Вам остаётся только выделить в экспоненте полный квадрат, сделать замену переменной и воспользоваться данным утверждением.