об разбиении прямой на 2 полуплоскости

[eugrita]

При преподавании школьной геометрии почти не обращают внимание на системы аксиом кроме 5-й о параллельных прямых. Меня интересует вопрос об очевидности утверждения в планиметрии :
"Есть 2 точки A, B в разных полуплоскостях образованных прямой m.Тогда точка пересечения прямой AB с m лежит внутри отрезка AB "
(Эквивалентное утверждение - диагонали выпуклого 4-угольника пересекаются)
(Аналогично о пересечении прямой AB с плоскостью разделяющей 2 полупространства в 3-мерном пространстве)
Вроде среди аксиом школьного курса Евклидовой геометрии (12 аксиом, 5 групп) в группе аксиом порядка есть
1)аксиома о разбиении: "Любая прямая разбивает множество не принадлежащих ей
точек плоскости на две непустые выпуклые области -открытые полуплоскости"
Кроме того известна
2) Аксиома Паша о внутренней точке треугольника.
Можно ли вывести из аксиомы о разбиении 1) интересующий вопрос о пересечении отрезка, соединяющего 2 точки с прямой?

В учебнике Погорелова для 7 кл есть задание
зад 13 Прямые AC и BD параллельны, прячем точки A и D лежат по разные стороны от секущей ВС. Докажите, что 2) луч ВС проходит между сторонами угла ABD;
Автор при решении фактически ссылается на картинку. что неубедительно а надо бы на аксиому или ее следствие
Мне ясно лишь что данный вопрос и аксиома о разбиении относятся к топологическим свойствам евклидовой геометрии. Т.е могут рассматриваться не в евклидовом метрическом а даже в топологическом пространстве

[george66]

Название "об разбиении прямой на 2 полуплоскости" надо как-нибудь улучшить.

[arseniiv]

eugrita
Тема, конечно, интересная, но лезть в Погорелова и выписывать список аксиом, или найти его готовым в интернете и сослаться, выглядит задачей автора темы. А без них обсуждать как-то неудобно. (Я могу только посоветовать забить на синтетическую геометрию и определять евклидово аффинное пространство методами линейной алгебры — вот там например я вам бы мог помочь сразу из головы. Но такой совет в данном случае неконструктивен: вам ведь наверно интересен вывод именно в такой системе, а не вообще.)

Кстати, аксиом, приводимых Погореловым, может не хватить, и тогда придётся использовать одну из заведомо полных аксиоматизаций — типа классической Гильберта.

[george66]

Аксиоматика с разбиением прямых и плоскостей на две части хорошо изложена в этой книжке (Донеддю "Евклидова планиметрия")
http://lib1.org/_ads/3F5DBED25CC1F6583F6EADDF6E9EAFD6

[eugrita]

Да. 1) я познакомился с ответом arseniv здесь
https://dxdy.ru/topic121261.html
И естественно разделяю сомнения как же определить даже не прямую в топологическом пространстве а аналог подпространства меньшей размерности, т.е плоскости для 3-мерн евклидового
Готов дальше изучать вопрос. Но мне ясно одно, что даже и для школьников мало или не знающих всякие навороты вроде топологических или даже метрических пространств и афинных пространств в изложении элементарного курса геометрии
не допустимы ссылки на чертеж.

[arseniiv]

Ну кстати в общем случае на чертежи/схемы наезжать не нужно: они могут быть видом доказательства, если правила такого графического доказательства и того, как должны образовываться чертежи, заданы, и чертёж достаточно аккуратный (аналогично тому, как текст предполагаемого доказательства должен быть достаточно понятным, чтобы разобрать его на вполне определённые части и установить, доказывает он что-то или нет). Пример — графическая тензорные обозначения Пенроуза, позволяющие доказывать какие-то тензорные равенства. Можно даже к геометрии это применить для некоторого подмножества чертежей, и может даже кто-то что-нибудь в таком духе формализовал, но сам такого не видел.

eugrita в сообщении #1381980 писал(а):

И естественно разделяю сомнения как же определить даже не прямую в топологическом пространстве а аналог подпространства меньшей размерности, т.е плоскости для 3-мерн евклидового

Стойте. Вы же синтетической евклидовой геометрией в этой теме интересовались — а там прямые и плоскости не надо определять, они уже входят в язык, а аксиомы определяют, что это такое. Если же заниматься геометрией, исходя из линейной алгебры, то можно ни о каких произвольных топологических пространствах не думать, так как евклидовы пространства — в каком-то смысле самые хорошие. Прямая и плоскость там соответственно одномерное и двумерное подпространство. У топологического пространства тоже есть подпросранства, но не всегда определима размерность.

[eugrita]

george66 в сообщении #1381662 писал(а):

Аксиоматика с разбиением прямых и плоскостей на две части хорошо изложена в этой книжке (Донеддю "Евклидова планиметрия")
http://lib1.org/_ads/3F5DBED25CC1F6583F6EADDF6E9EAFD6

Да, интересная книга. Несмотря на существование ее и большого числа книжек по топологии в т.ч. и ориентированных на школу, в педагогике изложение геометрии консервативно, опираясь на книги Киселева, Погорелова...(привет уважаемому Виктору Прасолову)
Такие вещи как теорема Жордана в школе вообще не рассматриваются.
В школе так же в разделе функции 1 переменной, вводя понятие область определения, область значений но такие свойства непрерывных функций (не вправе говорить об отображениях) как открытость, замкнутость, связность не рассматривают. Спасибо, хоть о теореме о промежуточных значениях говорят

[arseniiv]

eugrita в сообщении #1382561 писал(а):

но такие свойства непрерывных функций (не вправе говорить об отображениях) как открытость, замкнутость, связность не рассматривают

Это же свойства подмножеств пространства, а не функций на нём.