Прямая в топологическом пространстве

[hedgehogues]

Привет. Подскажите пожалуйста, можно ли в произвольном пространстве (не только метрическом) определить прямую. Если да, то как. Я вроде бы разобрался с окружностью. Это очень просто:

$\rho(x, y) = r$

для некоторой меры сходства $\rho$. Как быть с прямыми. Подскажите.

Для примера, я возьму косинусную меру сходства:

$\mu(x, y) = \dfrac{(x, y)}{\|x\|\|y\|} $

[arseniiv]

Насколько помню, самым далёким, но всё ещё естественным обобщением прямой является геодезическая на (псевдо)римановом многообразии. «Прямые» в произвольном метрическом пространстве — это уже проблема. Можно определить кривую Жордана для произвольного топологического пространства как образ непрерывного инъективного отображения отрезка (или окружности для замкнутой кривой), но это ещё далеко до прямой. Чтобы можно было определить гладкую кривую, от топологического пространства требуется уже слишком много, чтобы любое метрическое подходило. Так что дальше прямым способом ходу нет.

Можно попытаться описать прямоту кривой как-то иначе, но это может дать странные результаты: например, сочтём отрезок кривой между некоторыми точками прямым, если его длина — наименьшая из длин всевозможных других отрезков кривых с теми же концами. Тут две проблемы: во-первых, длина кривой определена не для любой кривой даже на обычной и хорошей во всех отношениях евклидовой плоскости (можно не рассматривать такие неспрямляемые кривые, но раз мы в произвольном метрическом пространстве, неизвестно, насколько это безвредно), и определяется она на евклидовой плоскости через длины ломаных, которых у нас пока как раз-таки нет! Во-вторых, кривой с наименьшей длиной может не существовать. В-третьих, длина кривой — это глобальное свойство, а если мы посмотрим на существующее обобщение прямой — геодезическую — там важно минимальность длины локально, между парами достаточно близких точек. Длина отрезка геодезической может не быть наименьшей среди длин отрезков других кривых, как мы здесь попытались затребовать. Если наше обобщение не будет обобщением геодезической, это не очень хорошо.

Итак, перед вами стоит проблема определить длину для кривой Жордана в метрическом пространстве. Берётесь?

-- Пт сен 29, 2017 05:09:29 --

hedgehogues в сообщении #1251683 писал(а):

Для примера, я возьму косинусную меру сходства:

$\mu(x, y) = \dfrac{(x, y)}{\|x\|\|y\|} $

Т. е., судя по нормам в формуле, у вас есть аж нормированное векторное пространство. Если оно вещественное, просто возьмите за прямые любые линейные многообразия размерности 1 (т. е. множества вида $\{\mathbf u + \alpha\mathbf v : \alpha\in\mathbb R\}$ для некоторых векторов $\mathbf u,\mathbf v$) и всё.

-- Пт сен 29, 2017 05:15:34 --

hedgehogues в сообщении #1251683 писал(а):

Я вроде бы разобрался с окружностью. Это очень просто:

$\rho(x, y) = r$

Ну, это обычно зовут всё-таки сферой, потому что для евклидова пространства это будет (гипер)сфера, т. е. во многих случаях и вовсе не кривая. У такой сферы бывают весьма странные свойства — ещё одно напоминание о степени абстрактности понятия метрического пространства без дополнительных ограничений.

(Оффтоп)

А почему вы называете метрику мерой сходства?

[Anton_Peplov]

Одним из тех утр, когда посещает ДПМ (дурацкая привлекательная мысль), я попытался что-то такое изобразить на коленке. Там мне, кажется, чуть-чуть надавали по мордасам, но полезных ссылок подкинули:
http://dxdy.ru/topic115121.html

[пианист]

В абстрактном топологическом, наверное, только линию можно (сиречь одномерное подпространство).
Да и то - все-таки не совсем уж в произвольном.

[svv]

Если на многообразии задана аффинная связность, можно определить параллельный перенос векторов. Геодезическая — линия, вдоль которой касательный ей вектор переносится параллельно.

[kp9r4d]

У Тао был пассаж про обобщение прямой, ничего необычного нет, но забавно всё равно.

[teleglaz]

Я извиняюсь, а что можно понимать под прямой в топологическом пространстве? Не, я понимаю, что вы хотите как раз дать определение. Наверное. Но что это такое?

Ведь, как вам верно уже заметили, $\rho(x, y) = r$ - это далеко не окружность.