2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 14:56 
Заслуженный участник


03/01/09
1700
москва
Имеет ли функциональное уравнение $f(x)f(-x)=1$ какие-то другие решения кроме $f(x)=e^{kx}? f(x)$- дифференцируема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Хм... А что мешает задать $f(x)$ для положительных $x$, а потом продолжить в силу уравнения для отрицательных? Надо только подогнать поведение в окрестности 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 15:10 
Заслуженный участник


16/02/13
4179
Владивосток
А что, к слову, $f(x)=e^{kx}$ дифференцируема в нуле?

(Оффтоп)

Таки не могу не отметить замечательного выделения формул.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 15:16 
Заслуженный участник


03/01/09
1700
москва
provincialka,
понятно. А если ограничиться аналитическими $f(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 16:09 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
Как вариант:
$f(x)=\exp{(F(x))}$,
где $F(x)$ - любая нечётная функция с нужными свойствами непрерывности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 16:10 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Для аналитических перемножим ряды Маклорена $\sum_{i=0}^\infty a_i x^i = f(x)$ и получим уравнения на коэффициенты $\sum_{i=0}^m (-1)^i a_i a_{m-i} = \delta_{0m}$ для каждого чётного неотрицательного $m$. Их недостаточно, чтобы определить $a_i$ полностью, но например чётные можно определить, задав нечётные и выбрав $a_0=\pm1$.

Если разделить $f$ на чётную и нечётные части $f = f_+ + f_-$, уравнение переписывается как $f_+^2 = f_-^2 + 1$, но дать в конечном итоге это должно соотношения выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 16:26 
Заслуженный участник


03/01/09
1700
москва
Всем, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj, mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group