2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 14:56 
Имеет ли функциональное уравнение $f(x)f(-x)=1$ какие-то другие решения кроме $f(x)=e^{kx}? f(x)$- дифференцируема.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 15:02 
Аватара пользователя
Хм... А что мешает задать $f(x)$ для положительных $x$, а потом продолжить в силу уравнения для отрицательных? Надо только подогнать поведение в окрестности 0.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 15:10 
А что, к слову, $f(x)=e^{kx}$ дифференцируема в нуле?

(Оффтоп)

Таки не могу не отметить замечательного выделения формул.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 15:16 
provincialka,
понятно. А если ограничиться аналитическими $f(x)$?

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 16:09 
Аватара пользователя
Как вариант:
$f(x)=\exp{(F(x))}$,
где $F(x)$ - любая нечётная функция с нужными свойствами непрерывности.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 16:10 
Для аналитических перемножим ряды Маклорена $\sum_{i=0}^\infty a_i x^i = f(x)$ и получим уравнения на коэффициенты $\sum_{i=0}^m (-1)^i a_i a_{m-i} = \delta_{0m}$ для каждого чётного неотрицательного $m$. Их недостаточно, чтобы определить $a_i$ полностью, но например чётные можно определить, задав нечётные и выбрав $a_0=\pm1$.

Если разделить $f$ на чётную и нечётные части $f = f_+ + f_-$, уравнение переписывается как $f_+^2 = f_-^2 + 1$, но дать в конечном итоге это должно соотношения выше.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение.
Сообщение13.03.2019, 16:26 
Всем, спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group