Функциональное уравнение.

[mihiv]

Имеет ли функциональное уравнение $f(x)f(-x)=1$ какие-то другие решения кроме $f(x)=e^{kx}? f(x)$- дифференцируема.

[provincialka]

Хм... А что мешает задать $f(x)$ для положительных $x$, а потом продолжить в силу уравнения для отрицательных? Надо только подогнать поведение в окрестности 0.

[iifat]

А что, к слову, $f(x)=e^{kx}$ дифференцируема в нуле?

(Оффтоп)

Таки не могу не отметить замечательного выделения формул.

[mihiv]

provincialka,
понятно. А если ограничиться аналитическими $f(x)$?

[Igrickiy(senior)]

Как вариант:
$f(x)=\exp{(F(x))}$,
где $F(x)$ - любая нечётная функция с нужными свойствами непрерывности.

[arseniiv]

Для аналитических перемножим ряды Маклорена $\sum_{i=0}^\infty a_i x^i = f(x)$ и получим уравнения на коэффициенты $\sum_{i=0}^m (-1)^i a_i a_{m-i} = \delta_{0m}$ для каждого чётного неотрицательного $m$. Их недостаточно, чтобы определить $a_i$ полностью, но например чётные можно определить, задав нечётные и выбрав $a_0=\pm1$.

Если разделить $f$ на чётную и нечётные части $f = f_+ + f_-$, уравнение переписывается как $f_+^2 = f_-^2 + 1$, но дать в конечном итоге это должно соотношения выше.

[mihiv]

Всем, спасибо!