Ударные волны и обобщённые решения

[Mikhail_K]

Здравствуйте!
Насколько я знаю (хотя до сих пор не интересовался этой темой совсем), исторически появление понятия обобщённого решения уравнений с частными производными было мотивировано изучением ударных волн в гидроаэродинамике.
Ну, во всяком случае, это была одна из предпосылок.
Потому что классические решения не могут быть разрывными просто по определению, а тут оказывается, что именно разрывные решения имеют физический смысл, и нужно понять, какие именно.
Наверняка эти вопросы связаны с изучением явления волнового кризиса, когда самолёт терпит крушение при достижении сверхзвуковых скоростей.

Собственно, прошу посоветовать какую-нибудь максимально элементарную литературу, где обсуждались бы эти вопросы.

Больше всего интересует, для начала, взглянуть на один конкретный пример уравнения с частными производными, с указанием физического смысла всех входящих в него величин и описывающего ударную волну или что-то в этом роде, и чтобы было показано, что физический смысл имеет разрывное обобщённое решение этого уравнения. Совсем замечательно, если это будет как-то привязано к явлению волнового кризиса или чему-то подобному. Впрочем, математическая модель может быть сколь угодно упрощенной и "учебной".

[Pphantom]

Наверное, подойдет совершенно любой учебник по гидродинамике (механике жидкости и газа), даже трудно сказать, какой лучше.

[Red_Herring]

Начните с одномерного невязкого Бюргерса $u_t + (u^2/2)_x=0$. Мы его обсуждали многократно
http://dxdy.ru/post1047531.html Правда "физика" не обсуждается, но математика на элементарном уровне. Что значит элементарном? Середина прошлого (20го) столетия

[pogulyat_vyshel]

Где-то по сети гуляет мехматовская методичка Комеча по уравнениям матфизики. Еще есть лекции Кружкова, но есть ли они в электронном виде это вопрос.

-- 10.03.2019, 22:33 --

Pphantom в сообщении #1380963 писал(а):

Наверное, подойдет совершенно любой учебник по гидродинамике (механике жидкости и газа), даже трудно сказать, какой лучше.

таки прямо любой? Неужели у ландафшица обобщенные решения обсуждаются?

[Pphantom]

pogulyat_vyshel в сообщении #1381023 писал(а):

таки прямо любой? Неужели у ландафшица обобщенные решения обсуждаются?

Кхм... да, действительно. Я настолько привык к тому, что это совершенно общее место, что как-то и не вспомнил, что у Л&Л его нет (ну, какие-то наметки есть, но не доведенные до конца).

[pogulyat_vyshel]

А я вот как-то не могу вспомнить учебник по гидро или газовой динамике, где это есть. Кроме Темама если только

[Pphantom]

pogulyat_vyshel в сообщении #1381035 писал(а):

А я вот как-то не могу вспомнить учебник по гидро или газовой динамике, где это есть. Кроме Темама если только

Ну, тут надо копаться, под руками ничего подходящего нет, но вроде это действительно стандартно. Было у Годунова, у Зельдовича/Райзера, кажется, у Станюковича...

[Igrickiy(senior)]

Pphantom в сообщении #1381043 писал(а):

Было у Годунова, у Зельдовича/Райзера, кажется, у Станюковича...

Да.
И ещё:
Зельдович Я. Б. Теория ударных волн и введение в газодинамику.
И книга Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. Теория детонации.

[pogulyat_vyshel]

У Годунова это может быть. У Зельдовича -- нет. Надо всетаки понимать, что между понятием "ударная волна" в классической (в математическом смысле) физике и понятием "обобщенное решение дифференциального уравнения" -- пропасть, и не думать, что это одно и тоже. Решения с ударными волнами это обобщенные решения, но математический аппарат и идеология совершенно различны в крассической физике и в урчп с обобщенными решениями.
Зельдовича я не нашел, но что-то я сомневаюсь, что там вообще обсуждаются вопросы, требующие знания интеграла Лебега

[DimaM]

Mikhail_K
Л.В. Овсянников "Лекции по основам газовой динамики" - думается, самое то.

[Mikhail_K]

Спасибо!

[Mikhail_K]

Прочитал параграф "Ударные звуковые волны и излучение Вавилова-Черенкова" в методичке Комеча "Практическое решение уравнений математической физики".
Там рассматривается обычное линейное волновое уравнение $u_{tt}=a^2\Delta u$.
Очень хотел бы разобраться сначала с ним, перед тем как рассматривать нелинейные.
Говорится, что этому уравнению удовлетворяет давление воздуха при описании распространения звука в среде, а также потенциалы электромагнитного поля.
Далее, утверждается, что если источник звука/света движется со скоростью меньшей, чем скорость звука / скорость света в данной среде, то получается непрерывное решение искомого типа.
А если со сверхзвуковой / превышающей скорость света в данной среде, то решение получается разрывным, с разрывом вдоль конуса Маха, что означает ударную звуковую волну / излучение Вавилова-Черенкова.

Очень хочется разобраться подробнее!
В методичке Комеча это рассказывается в терминах характеристик, а я хочу в терминах обобщённых решений и обобщённых функций.
В частности, как вообще описать движущийся точечный источник? Правильно ли я понимаю, что нужно написать уравнение типа $u_{tt}-a^2\Delta u=\delta(x-vt)$? Можно ли получить явную формулу для решения, непрерывного при $v<a$ и разрывного при $v>a$, записав свёртку такой правой части с фундаментальным решением волнового оператора? Где-нибудь это делается? (К сожалению, в данный момент я недостаточно уверенно владею операциями над обобщёнными функциями, чтобы попытаться это сделать самостоятельно.) В учебной литературе, которую я видел, рассматриваются только правые части вида $f(x,t)+u_0(x)\delta^\prime(t)+u_1(x)\delta(t)$, а не такого вида как я предположил выше.

[Red_Herring]

Mikhail_K в сообщении #1392902 писал(а):

В методичке Комеча это рассказывается в терминах характеристик, а я хочу в терминах обобщённых решений и обобщённых функций.

Цитата:

Я это сделал не в интересах истины, а в интересах правды

.
Прежде всего, зачем нужны характеристики (исключая метод характеристик, изучаемый в начале курса УЧП)? Для линейных уравнений вдоль характеристик распространяются осцилляции быстро осциллирующих решений и разрывы разрывных (или негладкости негладких). Для линейных уравнений с гладкими коэффициентами никакой принципиальной разницы между разрывами 110х производных и охренительной сингулярностью обобщенного решения нет--равно как и нет термина "ударная волна". Полулинейных уравнений (напр. $u_{tt}-c^2 \Delta u=f(u)$ там есть очень специфические заморочки для негладких решений, но и там нормальные люди не говорят об ударных волнах, которые появляются только для квазилинейных и нелинейных).

Что касается Вашего примера, то формулы для решения задачи Коши имеются--и все в порядке. Более того, если нет начальных условий, то можно найти решение вида $u= C\varphi (x-\mathbf{v}t)$––исключая случай $|\mathbf{v}|=c$ (и то только в случае одной пространственной переменной). Но тут и проявляется разница: при $|\mathbf{v}|<c$ для $\varphi$ будет эллиптическое уравнение, а при $|\mathbf{v}|>c$ гиперболическое. А если взять переменную $\mathbf{v}(x)$ то соответствующее стационарное уравнение будет переменного (или смешанного) типа.

[Mikhail_K]

Red_Herring в сообщении #1392908 писал(а):

Что касается Вашего примера, то формулы для решения задачи Коши имеются--и все в порядке. Более того, если нет начальных условий, то можно найти решение вида $u= C\varphi (x-\mathbf{v}t)$––исключая случай $|\mathbf{v}|=c$ (и то только в случае одной пространственной переменной). Но тут и проявляется разница: при $|\mathbf{v}|<c$ для $\varphi$ будет эллиптическое уравнение, а при $|\mathbf{v}|>c$ гиперболическое. А если взять переменную $\mathbf{v}(x)$ то соответствующее стационарное уравнение будет переменного (или смешанного) типа.

Да, разобрался. Спасибо.

Red_Herring в сообщении #1392908 писал(а):

Для линейных уравнений вдоль характеристик распространяются осцилляции быстро осциллирующих решений и разрывы разрывных (или негладкости негладких).

С этим утверждением я также знаком.

Red_Herring в сообщении #1392908 писал(а):

Для линейных уравнений с гладкими коэффициентами никакой принципиальной разницы между разрывами 110х производных и охренительной сингулярностью обобщенного решения нет

Пожалуйста поясните, что Вы имеете в виду под "принципиальной разницей", которой нет для линейных уравнений с гладкими коэффициентами и которая есть для нелинейных.

Red_Herring в сообщении #1392908 писал(а):

равно как и нет термина "ударная волна"

Что же такое ударная волна?
До сих пор я понимал так, что это "поверхность сильного разрыва, перемещающаяся по среде".
И как минимум Комеч применяет это понятие и к разрывным решениям линейного волнового уравнения.

[Munin]

Чисто в качестве справочного материала, чтобы он был доступен, напомню про
Полянин. Справочник по линейным уравнениям математической физики. (2001)