Пожалуйста поясните, что Вы имеете в виду под "принципиальной разницей", которой нет для линейных уравнений с гладкими коэффициентами и которая есть для нелинейных.
Ну я поясню для постоянных коэффициентов. Вот предположим у уравнения

есть решение из

, но не

в окрестности мн-ва

. Тогда

будет сингулярным и самые сильные сингулярности будут там же.
У линейного волнового уравнения сингулярности в классах гладких и обобщенных функций распространяются одинаково вдоль характеристик (при рассеянии аналитические сингулярности могут распространяться по другому).
Теперь рассмотрим

. Если решение из

, но не

, то разрывы соответствующих производных распространяются вдоль характеристик (

)

. А вот если решение из

, но не

, то разрывы распространяются по другому (либо как ударная волна, либо разрыв распадается).
И как минимум Комеч применяет это понятие и к разрывным решениям линейного волнового уравнения.
Ну хочется ему. Тогда разрывы первых производных можно назвать "слабая у.в.", вторых--"очень слабая у.в.", а третьих--"ну очень слабая у.в.", и т.д. По мне неча множить кол-во терминов.