Равноускоренное движение по окружности

[versham]

Точка движется по окружности радиуса $R$, при этом ускорение точки по модулю постоянно. Начальная скорость равна нулю. Найдите путь, который пройдет точка, до того, как ее скорость станет максимальной.

[dobrichev]

При ускорении ноль уверен, что точка будет стоять на месте. При нулевом радиусе тоже.
Если тангенциальная компонента ускорении не меняет знака, то точка будет разгоняться до конечной угловой скорости за бесконечное время, соответственно пройдя бесконечный путь.
В остальных случаях все зависит от закона изменения тангенциальной составляющей ускорения, который для меня как-то не виден из условии.

[waxtep]

Для зависимости угла от времени, если нигде не наврал, получается такая кракозябрина: $\varphi=\ln\ch\sqrt\frac a R t$, то есть максимальной скорость станет "в самом конце", на бесконечности. Если же спросить про "половину от максимальной", "99% от максимальной" и т.п. - можно дать конечный ответ

[AnatolyBa]

Если решать "по олимпиадному", в две строчки - у меня получился красивый конечный ответ. не зависящий от ускорения (если оно не ноль, разумеется).
Но один не совсем школьный интеграл пришлось взять.
Интересно. нет ли совсем школьного решения?

waxtep
Что-то меня терзают сомнения, что вы складывали ускорения не векторно

[versham]

dobrichev

Разумеется, и $R$, и полное ускорение больше нуля.

[slavav]

У меня получилась задача Коши $v' = F(v), v(0) = 0$.
Предположим что есть конечный момент времени $\exists t_1: \forall t \ge t_1 \Rightarrow v(t) = v_{max}$.
Развернём время назад. Снова задача Коши. Для $v(t) = v_{max}$ - её единственное решение $\forall t \ge t_1$. Но тогда в момент $t_1$ мы получаем два решения: одно - константная скорость, второе - замедление до нуля. Так не бывает - задача должна иметь единственное решение. Противоречие. Следовательно, время достижение максимальной скорости бесконечно.

[pogulyat_vyshel]

У меня получилось следующее уравнение на угол $\varphi$ поворота на окружности:

$$\dot\omega=\sqrt{c^4-\omega^4},\quad \omega=\dot\varphi,\quad \omega_0=\omega(0)\in (-c,c)$$

в предположении, что тангенциальное ускорение не меняет направления, $c=const>0$.
Разделяем переменные ,получаем время достижения максимальной скорости

$$T=\int_{\omega_0}^c\frac{d\omega}{\sqrt{c^4-\omega^4}}$$

легко сообразить, что интеграл сходится и время конечно. Дифференциальное уравнение при $\omega\to c$ не удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности

[AnatolyBa]

$L=R\int\limits_{0}^{T}\omega dt=R\int\limits_{0}^{c}\frac{\omega}{\dot{\omega}}d \omega=R\pi/4$

[Geen]

AnatolyBa в сообщении #1380723 писал(а):

Но один не совсем школьный интеграл пришлось взять.

Вроде бы, если я не напутал нигде, "через энергию" получается простой интеграл... (только что-то уж больно быстро он у меня разгоняется)

[EUgeneUS]

1. модуль ускорения постоянный:

$a^2 = (\frac{v^2}{r})^2 + (\frac{dv}{dt})^2$

2. Вспоминаем, что:

$\frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{ds}$

3. Переписываем:

$a^2 = (\frac{v^2}{r})^2 + (\frac{1}{2} \frac{d(v^2)}{ds})^2$

4. После чего переменные разделяются, а интеграл оказывается табличным.

[Igrickiy(senior)]

AnatolyBa
Ответ именно такой.

[lel0lel]

pogulyat_vyshel в сообщении #1380780 писал(а):

получаем время достижения максимальной скорости

$$T=\int_{\omega_0}^c\frac{d\omega}{\sqrt{c^4-\omega^4}}$$

Если $\omega_0=0$, тогда

$$T=\sqrt{\frac{\pi R}{a}}\frac{\Gamma(5/4)}{\Gamma(3/4)}\approx 1.31\sqrt{\frac{R}{a}}$$

[EUgeneUS]

lel0lel
Это, конечно, интересно. Но про время никто не спрашивал. Вся прелесть задачи в хорошо поставленном вопросе.

[lel0lel]

EUgeneUS
Это верно, но раз уж всё равно без интегралов обойтись не удалось, то пусть будет для общего развития.

[pogulyat_vyshel]

Задача банальная, я не стал бы сюда влезать, я только прокомментировал ошибочное высказывание:

slavav в сообщении #1380774 писал(а):

Следовательно, время достижение максимальной скорости бесконечно.