2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Асимптотика решения диф. уравнения
Сообщение08.03.2019, 18:21 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Есть такая книжечка для школьников "200 интригующих физических задач" Гнэдиг с компанией. Перевод с английского. А там есть задачка:

Изображение

Цитата:
Один конец легкой слабой пружины в нерастянутом состоянии шарнирно закреплен в точке $O$, ко второму концу прикреплен шарик массы $m$. Шарик с пружиной приводят в горизонтальное положение и отпускают. Чему равна длина пружины в тот момент, когда она проходит вертикальное положение? Жесткость пружины $k$, длина свободной пружины $L$. Слабость пружины означает, что $mg\gg kL$

Воспроизводить рассуждения, которые авторы наивно называют решением, смысла нет, а вот написать корректный вывод асимптотики этой нетривиальной задачи, по-моему было бы интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решения диф. уравнения
Сообщение08.03.2019, 20:42 


11/07/16
825
Согласитесь, что без ОДУ затруднительно находить асимптотику (относительно какой переменной?) его решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решения диф. уравнения
Сообщение08.03.2019, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Большой параметр здесь $\lambda = \dfrac{mg}{kL} \to \infty$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решения диф. уравнения
Сообщение08.03.2019, 21:33 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Ну, что касается ОДУ, то с выписыванием лагранжиана в подобных задачах у грамотных людей, что физиков, что математиков проблем не бывает. Я не выписываю лагранжиан, поскольку мне пока самому неочевидно, какие координаты лучше использовать полярные или декартовы.
Теперь о малых параметрах. Можно считать, что размерности физических величин подобраны так, что $m=1,\quad L=1,\quad g=1$. После этого корректно положить малым параметром величину $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решения диф. уравнения
Сообщение08.03.2019, 23:11 


11/07/16
825
pogulyat_vyshel
Цитата:
Ну, что касается ОДУ, то с выписыванием лагранжиана в подобных задачах у грамотных людей, что физиков, что математиков проблем не бывает.

Я не специалист в этой области. Мне интересны именно ОДУ и начальные данные. Пожалуйста, представьте их.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решения диф. уравнения
Сообщение09.03.2019, 00:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5288
ФТИ им. Иоффе СПб
А вот влезу со свиным рылом в калашный ряд. Слабость пружинки означает, что растянется она очень сильно (параметр $\frac{\Delta L}{L_0}\gg1,$ где $\Delta L$ - удлинение пружины в нижней точке, a $L_0$ - начальная длина пружины). Тогда в нулевом порядке можно пренебречь разницей между длиной пружины $L$ и удлинением в нижней точке. Пишем два уравнения: закон сохранения энергии и величину нормальной силы $\frac{v^2}{L}+g=\omega^2 L,$ получаем ответ в нулевом порядке по $\frac{\Delta L}{L_0};$
$$L=\frac{g}{\omega^2}.$$ ($\omega^2=\frac{k}{m},$ к безразмерным единицам не перешел, что бы видно было что откуда растет). Можно посчитать поправки, но лень. И никаких дифуров. Видимо, так эта задачка решена у авторов, но как-то особых дыр мне тут не видно.

09.03.2019
Исправил глупость с квадратным корнем - откуда взялся, ума не приложу ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решения диф. уравнения
Сообщение09.03.2019, 08:15 


11/07/16
825
amon
Не так все просто: есть предельная длина растяжения пружины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решения диф. уравнения
Сообщение09.03.2019, 12:17 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
amon в сообщении #1380698 писал(а):
силы $\frac{v^2}{L}+g=\omega^2 L,$

а почему вы из этой формулы выбрасываете член $\frac{v^2}{L}$? Член $\omega^2 L$ это умножение малой величины $k$ на большую величину $L$. Что вы знаете о порядке получившейся величины в сравнении с $\frac{v^2}{L}$ и откуда вы это знаете?
Что вы знаете про порядок величины $v$? У нас в задаче между прочим есть еще один большой параметр это время за которое было достигнуто самое нижнее положение. Откуда вы знаете, что за это время $v$ увеличилось несильно?

И это ,разумеется, далеко не все вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решения диф. уравнения
Сообщение09.03.2019, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5288
ФТИ им. Иоффе СПб
pogulyat_vyshel в сообщении #1380744 писал(а):
И это ,разумеется, далеко не все вопросы.
Вечером попробую аккуратно написать, сейчас некогда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group