Асимптотика решения диф. уравнения

[pogulyat_vyshel]

Есть такая книжечка для школьников "200 интригующих физических задач" Гнэдиг с компанией. Перевод с английского. А там есть задачка:

Цитата:

Один конец легкой слабой пружины в нерастянутом состоянии шарнирно закреплен в точке $O$, ко второму концу прикреплен шарик массы $m$. Шарик с пружиной приводят в горизонтальное положение и отпускают. Чему равна длина пружины в тот момент, когда она проходит вертикальное положение? Жесткость пружины $k$, длина свободной пружины $L$. Слабость пружины означает, что $mg\gg kL$

Воспроизводить рассуждения, которые авторы наивно называют решением, смысла нет, а вот написать корректный вывод асимптотики этой нетривиальной задачи, по-моему было бы интересно.

[Markiyan Hirnyk]

Согласитесь, что без ОДУ затруднительно находить асимптотику (относительно какой переменной?) его решения.

[StaticZero]

Большой параметр здесь $\lambda = \dfrac{mg}{kL} \to \infty$?

[pogulyat_vyshel]

Ну, что касается ОДУ, то с выписыванием лагранжиана в подобных задачах у грамотных людей, что физиков, что математиков проблем не бывает. Я не выписываю лагранжиан, поскольку мне пока самому неочевидно, какие координаты лучше использовать полярные или декартовы.
Теперь о малых параметрах. Можно считать, что размерности физических величин подобраны так, что $m=1,\quad L=1,\quad g=1$. После этого корректно положить малым параметром величину $k$.

[Markiyan Hirnyk]

pogulyat_vyshel

Цитата:

Ну, что касается ОДУ, то с выписыванием лагранжиана в подобных задачах у грамотных людей, что физиков, что математиков проблем не бывает.

Я не специалист в этой области. Мне интересны именно ОДУ и начальные данные. Пожалуйста, представьте их.

[amon]

А вот влезу со свиным рылом в калашный ряд. Слабость пружинки означает, что растянется она очень сильно (параметр $\frac{\Delta L}{L_0}\gg1,$ где $\Delta L$ - удлинение пружины в нижней точке, a $L_0$ - начальная длина пружины). Тогда в нулевом порядке можно пренебречь разницей между длиной пружины $L$ и удлинением в нижней точке. Пишем два уравнения: закон сохранения энергии и величину нормальной силы $\frac{v^2}{L}+g=\omega^2 L,$ получаем ответ в нулевом порядке по $\frac{\Delta L}{L_0};$

$$L=\frac{g}{\omega^2}.$$

($\omega^2=\frac{k}{m},$ к безразмерным единицам не перешел, что бы видно было что откуда растет). Можно посчитать поправки, но лень. И никаких дифуров. Видимо, так эта задачка решена у авторов, но как-то особых дыр мне тут не видно.

09.03.2019
Исправил глупость с квадратным корнем - откуда взялся, ума не приложу ;)

[Markiyan Hirnyk]

amon
Не так все просто: есть предельная длина растяжения пружины.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1380698 писал(а):

силы $\frac{v^2}{L}+g=\omega^2 L,$

а почему вы из этой формулы выбрасываете член $\frac{v^2}{L}$? Член $\omega^2 L$ это умножение малой величины $k$ на большую величину $L$. Что вы знаете о порядке получившейся величины в сравнении с $\frac{v^2}{L}$ и откуда вы это знаете?
Что вы знаете про порядок величины $v$? У нас в задаче между прочим есть еще один большой параметр это время за которое было достигнуто самое нижнее положение. Откуда вы знаете, что за это время $v$ увеличилось несильно?

И это ,разумеется, далеко не все вопросы.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1380744 писал(а):

И это ,разумеется, далеко не все вопросы.

Вечером попробую аккуратно написать, сейчас некогда.