2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение27.02.2019, 12:06 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
В исходном уравнении заменим плюсы на минусы: $(x^2-1)(y^2-1)=(z^2-1)^2$
и для нахождения решений используем прежний приём - вводим переменные $u,v$
$x=u-2v, y=u+2v,z=u$. Тогда $(x^2-1)(y^2-1)-(z^2-1)^2=-8v^2{(u^2-2v^2+1)}$
и все решения исходного уравнения находятся через известные решения уравнения Пелля $u^2-2v^2=-1$.
Такая же история с уравнением $(x^2-1)(y^2-1)=(z^2-b^2)^2$. Его можно свести либо к уравнению Пелля $u^2-(b^2+1)v^2=-1$. либо к уравнению $u^2-(b^2-1)v^2=1$. Правда, все решения исходного уравнения для $b>1$ таким образом не получаются.
Результат с $b=1$ принадлежит Серпинскому и Шинцелю.
Предлагаю к решению 2 задачи разного уровня сложности - от меньшего к большему.
Найдите:
1. 1-параметрическое решение уравнения $(x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)$ в целых числах $x,y,z$.
2. 1-параметрическое решение уравнения $(x^3-x)(y^3-y)=(z^3-z)$ в рациональных числах $x,y,z$. (Решения типа $x=t, z=y=1$ нежелательны).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение27.02.2019, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1378674 писал(а):
1-параметрическое решение уравнения $(x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)$ в целых числах $x,y,z$.

Это уже рассматривалось здесь. Можно взять $x$ за аргумент и получить полное решение, хотя требуется факторизация $x.$ 1-параметрическое можно выписать, конечно, в общем виде, но есть ли смысл? P.S. Оно, впрочем, там и выписано, правда нуль-параметрическое :) Для простого $x$ разве есть другие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение27.02.2019, 13:54 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Поскольку обсуждалось, то замена:
$x^2{(x+1)}y^2{(y+1)}=z^2{(z+1)}$
1-параметрическое решение в рациональных числах $x,y,z$, а лучше общее решение.
Кроме того, есть ещё номер 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение28.02.2019, 05:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Для последнего уравнения находятся нуль-параметрические решения, но, согласен, они тут неинтересны. А для $(x^3-x)(y^3-y)=(z^3-z)$ например такое годится: $$x=\dfrac{(r+1)^2-2}{r^2+1},y=\dfrac{(r-1)^2-2}{r^2+1}, z=xy.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение28.02.2019, 16:15 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
1. С номером 2: параметризация подходящая. Фактически параметризована целиком одна рациональная кривая, полученная при пересечении двух 2-поверхностей в $\mathbb{R}^3$:
$(x^2-1)x{(y^2-1)}y-z{(z^2-1)}=0, xy=z$ и спроектированная на плоскость $(x,y)$.
Вот другая параметризация: $x=r, y=\dfrac{r^3-r-2}{r^3-r+1}, z=\dfrac{-2r^3+2r+1}{r^3-r+1}$. Она дает рациональные точки на множестве эллиптических кривых,
полученных при пересечении поверхности исходного уравнения и плоскости $x=r$ (по одной рациональной точке на каждой кривой при изменении $r$).
Таких параметризаций существует бесконечное число.

2. С первым номером: 0-факторизация получается, если опять положить $z=xy$. Это действительно не интересно.
Чтобы получить общее решение, тут нужно поступить по-другому.
Ответ напишу, если будут затруднения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение05.03.2019, 02:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1378712 писал(а):
$x^2{(x+1)}y^2{(y+1)}=z^2{(z+1)}$ ... общее решение.

$x=bca^2-1;\ y=\dfrac{m(cm^2-bn^2)}{\pm c(abn)^3\mp ab^2n^3-cm^3};\ z=\pm xy\dfrac{abn}{m}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение05.03.2019, 06:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
PS Возможно, хватило бы и двух параметров: $x=ab-1,\ y=\dfrac{a-b}{b^2x-a}, z=bxy$, но тогда 5-параметрическое должно сводится сюда какими-то неущербными заменами, а какими я не знаю.
Всё дело в уравнении $xyz=t^2.$ Исходя из логики рациональных чисел, решение такое: $x=ab,y=bc,z=ca$, поскольку параметры $a,b,c$ определены через $x,y,z$ однозначно. Но исходя из логики целых чисел, оно такое: $ x=abv_1^2,y=bcv_2^2,z=cav_3^2$, в точности как целочисленное. Что с этим делать, я не очень понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение05.03.2019, 11:34 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Имелось в виду ввести две переменных $r=y, t=\dfrac{x}{z}$, тогда
$x=\dfrac{t(1-t^2{r^3}-t^2{r^2})}{t^3{r^3}+t^3{r^2}-1}$,
$y=r$,
$z=\dfrac{1-t^2{r^3}-t^2{r^2}}{t^3{r^3}+t^3{r^2}-1}$.
(Пересечения поверхности исходного уравнения и плоскостей $y=r$ являются рациональными кривыми).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение05.03.2019, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Интересно. В Вашем решении то преимущество, что одна переменная – свободный аргумент, моё на вид проще. Пробую совместить полезное с приятным: $x=ab-1=r \Rightarrow a=\dfrac{r+1}{b}.$ Тогда еще такое решение: $x=r,\ y=\dfrac{r+1-b^2}{b^3r-r-1}, z=\dfrac{br(r+1-b^2)}{b^3r-r-1}$, и все работают. Интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение05.03.2019, 18:02 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
После успешно проведенных решений предложу ещё одно уравнение, отличающееся от номера 2 одним знаком:
$(x^3-x)(y^3+y)=z^3-z$
Вопрос тот же. Найти для этого уравнения 1-параметрическое решение в рациональных числах $x,y,z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение05.03.2019, 23:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1379945 писал(а):
... $(x^3-x)(y^3+y)=z^3-z$

$x=\dfrac{(r+1)^2-4}{r^2+3},y=-\dfrac{(r-1)^2-4}{r^2+3},z=y^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение06.03.2019, 09:12 


16/08/05
1153
А для такого замечательного уравнения $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$ в целых числах можно подобрать рациональную параметризацию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение06.03.2019, 17:16 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Решение Andrey A нравится . Хотя линия пересечения поверхности исходного уравнения и поверхности $z=y^2$, спроектированная на плоскость $(x,y)$ не рациональная кривая, но она распадается на прямую $x=y$ и рациональную кривую $x^2+xy+y^2=1$. Эта кривая рациональной параметризации подлежит.
Приведу еще 2 примера 1-параметризации рассматриваемого уравнения, полученные из совсем других соображений.
Код:
1.x = (r-2+r^3)/(r^3+r+1), y = r, z = -(2*r^3+2*r-1)/(r^3+r+1),
2.x = r, y = -6*r*(r^2-1)/(-8+r^6-2*r^4+r^2), z = -(2*(r^6-2*r^4+r^2+4))/(-8+r^6-2*r^4+r^2).
Таких параметризаций существует бесконечное количество.
Теперь, что касается вопроcа dmd.
Хорошо бы получить 1-параметризацию уравнения $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$ в рациональных числах.
Можно утверждать, что для любого целого $y$ существует бесконечное число рациональных $x$, так что левая часть уравнения является квадратом рационального числа.
Для успешного решения больше подошло бы нахождение 1-параметрического решения в рациональных числах уравнения $(x^3-x)(y^3-y)=z^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение06.03.2019, 18:32 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
1-параметрические решения для уравнения, предложенного dmd $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$ в рациональных числах $x,y,z$ :
$x=\dfrac{t+2}{t-1}, y=t, z=\dfrac{3(t^2+t+1)}{t-1}$,
ещё одно:
$x =\dfrac{t(t^3+8)}{4(t^3-1)}, y = t, z = \dfrac{t^6-20t^3-8}{8(t^3-1)}$
и т.д.
Их бесконечное число.
Вычленять целые решения приходится из бесконечной общности таких рациональных решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение07.03.2019, 13:06 


16/08/05
1153
scwec, Andrey A
Объясните пожалуйста в общих чертах, как Вы действуете, чтоб получить ту или иную целую/рациональную параметризацию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group