Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах

[scwec]

Точно так же, как и для уравнения $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$ по приведенной мной схеме вычисляются 1-параметрические рациональные решения для уравнения $(x^4-1)(y^4-1)=z^2$.
А именно: $x=\dfrac{t^4+2t^2-1}{t^4-2t^2-1}, y=t, z=\dfrac{4t(t^8-1)}{(t^4-2t^2-1)^2}$.
Следующие решения уже громоздки.
Можно пытаться найти также целые решения для этого уравнения.
А вот для уравнения $(x^3-1)(y^3-1)=z^3$, 1-параметрическое решение по предложенной схеме не находится, хотя рациональные решения у него имеются в каком угодно количестве, например, $x=2/11, y=2, z=-21/11$ и т.д.
Можно доказать, что для каждого целого $y$ из последовательности $r=2,3,6,7,8,11,12,13,14,15,16,18,20...$,
такой, что ранг эллиптической кривой $w^2=u^3-432(r^3-1)^4$ больше нуля, существует бесконечно много рациональных $x$, так что $(x^3-1)(y^3-1)$ - куб рационального числа.

[dmd]

(13,239,9653280) - целое решение уравнения $(x^4-1)(y^4-1)=z^2$.

[Andrey A]

dmd
Собственно, если скачать где-то последовательность членов натурального ряда, поделенных нацело на максимально возможный квадрат, то подобные задачи в целых числах сводятся к сортировке отобранных значений. Для $n^3-1$ имеем таблицу
$\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & ...\\ 0 & 7 & 26 & 7 & ... \end{matrix}$
Сортируя по нижней строке, получаем две подряд семерки и первое решение: $(2^3-1)(4^3-1)=21^2.$ Следующая семерка встретится под номером $22.$ Вот еще два решения $(2^3-1)(22^3-1)=273^2,\ (4^3-1)(22^3-1)=819^2.$ А можно представить таблицу умножения, где по оси $x$ записаны целые квадраты, по оси $y$ — свободные от квадратов $>1$, в каждой ячейке соответствующие произведения. Тот же натуральный ряд в виде двумерного множества, где любые два числа из одной строки есть корни уравнения $xy=z^2$, и только они. Памяти возьмет много, но тогда и сортировки не требуется, только поиск. Сомнительно что тут может быть аналитическое решение или даже приемлемый алгоритм. Перебор так перебор, чего уж там. Меня больше заинтересовало много ли семерок встретится в указанном выше примере, т.е. конечно ли число решений уравнения $x^3-my^2=1.$ Или так: конечно ли число целых квадратов в последовательности $\dfrac{x_1^3-1}{7},\dfrac{x_2^3-1}{7},...$ Основания кубов, сравнимых с единицей по $\mod 7$, образуют последовательность $1,2,4,...,x_{n+1}=x_{n-2}+7.$ Оказалось скорее конечно, что и не удивительно. Excel во всяком случае после $x=22$ других не видит.

[dmd]

Andrey A
Меня впечатлило Ваше наблюдение про делители вида $a^2+3b^2$, таковы все простые делители $z^2$, кроме 2, 11 и 293 во всех решениях.

(ещё перебор)

Цитата:

Пусть в уравнении $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$ будет $0<x<y$. Если заметить, что $x-1 \mid y-1$, и сделав меньшее неизвестное параметром $x=v+1, y=v Y+1$, то можно перейти к уравнению

$(3 + 3 v + v^2) Y (3 + 3 v Y + v^2 Y^2)=Z^2$

Запустим цикл по натуральному $d$, решая Пелля уравнение $3 + 3 T + T^2=dS^2$ до некоторой "высоты" числа $T$, приемлемой для быстрого вычисления дивизоров $v$ и $Y$ числа $T=vY$. Перебирая эти дивизоры проверяем, является ли целым квадратом число $(3 + 3 v + v^2) Y/d$. Значения $v$ и $Y$ могут оказаться достаточно большими. И почти уверен, что здесь $d$ обязано быть в форме $a^2+3b^2$.

[scwec]

Два пояснения.

dmd в сообщении #1381716 писал(а):

(13,239,9653280) - целое решение уравнения $(x^4-1)(y^4-1)=z^2$.

Следует из того, что если $x,y$ решение уравнения $y^2=2x^4-1$, то $(x^4-1)(y^4-1)=4x^4{(x^4-1)^2}$ и $z=2x^2{(x^4-1)}$
Решений же уравнения $y^2=2x^4-1$, как доказал Люнггрен, всего два $(1,1), (13,239)$.

Andrey A в сообщении #1381740 писал(а):

конечно ли число решений уравнения $x^3-my^2=1.$

Морделл доказал, что целых точек на эллиптической кривой имеется конечное число.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1381772 писал(а):

Морделл доказал...

Спасибо, я вроде бы даже читал, да забыл. Что ж, тогда можно предположить, что для фиксированного $n>2$ количество решений уравнения $(x^n-1)(y^n-1)=z^2$ в целых числах конечно, а возможно конечно и общее число подобных нетривиальных равенств. Тогда хорошо бы их издать отдельной брошюрой. Или же $n=3$ под вопросом?

(dmd)

dmd в сообщении #1381770 писал(а):

И почти уверен, что здесь $d$ обязано быть в форме $a^2+3b^2$

Делители чисел $x-1,y-1$ могут быть числами этого вида, но вовсе не обязаны. Другое дело, что при отсутствии таковых выражение $(x-1)(y-1)$ в заявленном уравнении должно быть целым квадратом. Вы уверены, что такой перебор с анализом и допущениями эффективней прямого перебора по одной переменной, о котором говорил выше?

dmd в сообщении #1381770 писал(а):

Меня впечатлило Ваше наблюдение про делители вида $a^2+3b^2$...

Это же просто: $a,b$ либо одной четности, либо разной.
$(p-q)^2+3(p+q)^2=(2p)^2+(2p)(2q)+(2q)^2$
$(p-q)^2+3(p+q+1)^2=(2p+1)^2+(2p+1)(2q+1)+(2q+1)^2$.
А тут кольцо: $(k^2+3l^2)(m^2+3n^2)=(km \pm 3ln)^2+3(kn \mp lm)^2.$

[scwec]

Andrey A в сообщении #1381821 писал(а):

можно предположить, что для фиксированного $n>2$ количество решений уравнения $(x^n-1)(y^n-1)=z^2$ в целых числах конечно, а возможно конечно и общее число подобных нетривиальных равенств. Тогда хорошо бы их издать отдельной брошюрой.

Предположение о числе решений под вопросом.
Поясняю, если не вдаваться в подробности об особости кривых и т.п.:
Уравнение $(x^n-1)(y^n-1)=z^2$ над $\mathbb{Q}$ содержит 3 переменных и определяет алгебраическую поверхность, а алгебраическую кривую определяет уравнение от двух переменных.
Она получается, если зафиксировать, например, $y$. Если род полученной кривой равен 1, то при наличии на ней хотя бы одной рациональной точки, эта кривая является эллиптической (в нашем случае $n=3,4$). На каждой эллиптической кривой по теореме Морделла целых точек конечное число, но, поскольку самих кривых бесконечно много ($y$ пробегает все целые числа), то целых точек на поверхности исходного уравнения и, следовательно, решений в целых числах может быть бесконечное число (даже если не рассматривать решения $x=y$).
При $n>4$ род кривой больше 1. Здесь вступает в действие гипотеза Морделла, доказанная Фалтиньгсом. На таких кривых может существовать только конечное число рациональных точек (число рациональных точек на поверхности исходного уравнения может быть бесконечным).
Замечу, что теоремы Морделла и Фальтингса не являются конструктивными и не помогают находить рациональные точки на кривых.
Единственно, что находится без особых проблем, это все рациональные точки конечного порядка (точки кручения) на эллиптических кривых.
Это Благодаря теореме Мазура, который дал их полную классификацию. Таких рациональных точек на любой эллиптической кривой не более 16.
Что касается отдельной брошюры, то, конечно, эта работа давно делается и в сети имеются сайты этой направленности.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1381772 писал(а):

Следует из того, что если $x,y$ решение уравнения $y^2=2x^4-1$, то $(x^4-1)(y^4-1)=4x^4{(x^4-1)^2}$ и $z=2x^2{(x^4-1)}$
Решений же уравнения $y^2=2x^4-1$, как доказал Люнггрен, всего два $(1,1), (13,239)$.

То есть это не является необходимым условием, и могут быть другие решения. Или всё же $n=4$ исключение? Тогда $n=4k$ тоже исключение, не понимаю.

[scwec]

Возможно, есть и другие целые решения у исходного уравнения с $n=4$.
Надо посмотреть.

[lel0lel]

scwec в сообщении #1381668 писал(а):

по приведенной мной схеме вычисляются 1-параметрические рациональные решения для уравнения $(x^4-1)(y^4-1)=z^2$.
А именно: $x=\dfrac{t^4+2t^2-1}{t^4-2t^2-1}, y=t, z=\dfrac{4t(t^2-1)}{(t^4-2t^2-1)^2}$.

Заметил небольшую опечатку, должно быть $z=\dfrac{4t(t^8-1)}{(t^4-2t^2-1)^2}$.

[scwec]

lel0lel в сообщении #1381954 писал(а):

Заметил небольшую опечатку, должно быть $z=\dfrac{4t(t^8-1)}{(t^4-2t^2-1)^2}$

Спасибо за бдительность, опечатку исправил.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1381772 писал(а):

Следует из того, что если $x,y$ решение уравнения $y^2=2x^4-1$, то $(x^4-1)(y^4-1)=4x^4{(x^4-1)^2}$ и $z=2x^2{(x^4-1)}$
Решений же уравнения $y^2=2x^4-1$, как доказал Люнггрен, всего два $(1,1), (13,239)$.

Пара множителей в скобках левой части уравнения $(x^4-1)(y^4-1)=z^2$ не может быть целыми квадратами, следовательно существует свободное от квадратов $m>1$ такое, что $x^4-1=mp^2,\ y^4-1=mq^2$. Перепишем это как $x^4-mp^2=y^4-mq^2=1$, или так $\sqrt{m}\approx \dfrac{x^2}{p} \approx \dfrac{y^2}{q}$. Сразу нужно заметить, что ситуация эта будет повторяться и для других четных степеней помимо четвертой: двойной Пелль (не взбалтывать!) со степенями в числителях подходящих дробей, в нашем случае с квадратами. Для начала пусть это будут $1$-е и $2$-е решения. С первым проблем нет: любое число вида $a^4-1$ поделенное на максимально возможный квадрат с большой вероятностью подойдет в качестве $m$. Например $5=(3^4-1)/4^2$. Проверяем. $\sqrt{5}=2,(4)\approx \dfrac{2}{1},\dfrac{9}{4},\dfrac{38}{17},\dfrac{161}{72},...$ Как видим, $p_1=9=3^2$ выполняется, но $p_2=161$ не является квадратом. Чтобы убедиться в отсутствии квадратов в последующих членах нужно проверять последовательность $1,9,...,p_{n+1}=18p_n-p_{n-1}$. $18$ есть удвоенное $p_1$, и это общая закономерность. Поэтому в нашем случае требуется $x^2 \cdot (2x^2)-1=y^2$ или $y^2-2x^4=-1$. Решения этого уравнения следуют из разложения $\sqrt{2}$: $\dfrac{1}{1},\dfrac{7}{5},\dfrac{41}{29},\dfrac{239}{169=13^2},...$ и дальше, как доказал Люнггрен, квадратов в знаменателях нет. Как он это доказал, видимо выходит за рамки школьной программы.
$\gcd (13^4-1,239^4-1)=1785$ (свободное от квадратов). Именно из разложения $\sqrt{1785}=42,(4,84)=\dfrac{42}{1},\dfrac{169=13^2}{4},\dfrac{14238}{337},\dfrac{57121=239^2}{1352},...$ получаем нужное решение. Ну, а если квадрат окажется в числителе $3$-го решения Пелля? $(2x^4-1)\cdot 2x^2-x^2=y^2,\ 4x^6-3x^2=y^2.$ Видим, что $y$ кратен $x$ и $(2x^2)^2-\left ( \dfrac{y}{x} \right )^2=3$, откуда $x=y=1$. Что же, в числителях подходящих дробей разложения $\sqrt{m}$ не может встретиться двух квадратов? Да нет. Как было не известно, так и осталось. Доказано только, что их не может быть одновременно в $k$-ом и в $2k$-ом или $3k$-ом решениях за исключением нашего примера. Однако бесконечность количества решений уравнения $(x^4-1)(y^4-1)=z^2$ оказывается сильно под вопросом, и тем более для четных степеней $>4$. С нечетными не знаю. Где бы почитать об уравнении $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$ или хотя бы один пример увидеть с $5$-ми степенями?

scwec в сообщении #1381854 писал(а):

Что касается отдельной брошюры, то, конечно, эта работа давно делается и в сети имеются сайты этой направленности.

Вижу Вашу поправку. Дайте ссылок пожалуйста, если не затруднит. Именно на "коллекции" целочисленных решений.

[Andrey A]

PS Кстати, из разложения любого квадратного радикала следует бесконечное количество решений уравнения $(x^2-1)(y^2-1)=z^2$ в целых числах, а в некоторых случаях и $(x^2+1)(y^2+1)=z^2$. Причем оно общее решение, и можно записать в явном виде. Почему-то эта простая мысль никогда не приходила в голову.

[scwec]

Andrey A в сообщении #1382017 писал(а):

Дайте ссылок пожалуйста, если не затруднит. Именно на "коллекции" целочисленных решений.

Здесь полезные материалы по рациональным и целочисленным решениям уравнений, связанных с эллиптическими кривыми.
http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/ec/eca1/#C03
Кроме того, рекомендую книгу LJ.Морделл "Diophantine Equatiions" 1969 год. В ней очень много интересного.
В конце книги обширный список рассматриваемых в ней уравнений, решаемых, в основном, в целых числах и, что удобно, с указанием страниц.

По уравнению $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$ посмотрите ссылку, которую приводит dmd в этой теме.
Там можно найти полезную информацию об авторах, рассматривавших это уравнение и найти их статьи.
По $n=5$ видел работы, но они касались других уравнений - типа $y^2=x^5+k$.
И целые решения их только $(k,x,y)=(-1, 1, 0), (-19, 55, \pm{22434}), (k=-341, 377, \pm{2759646})$

Для $n=4$ ничего нового в теме пока не произошло и мы имеем одно нетривиальное целое решение $(13,239)$ с надеждой получить другие.

[dmd]

scwec в сообщении #1382156 писал(а):

уравнений - типа $y^2=x^5+k$.
И целые решения их только $(k,x,y)=(-1, 1, 0), (-19, 55, \pm{22434}), (k=-341, 377, \pm{2759646})$

Кстати, pari/gp помогает подобные уравнения быстро проверить:

? hyperellratpoints(x^5-19, 10^6)
%19 = [[55, 22434], [55, -22434]]
?
? hyperellratpoints(x^5-341, 10^6)
%20 = [[377, 2759646], [377, -2759646]]


Возможно ли символ Кронекера-Лежандра применять для определения, представимо ли число $n$ формой $a^2+3b^2$?