Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах

[scwec]

В исходном уравнении заменим плюсы на минусы: $(x^2-1)(y^2-1)=(z^2-1)^2$
и для нахождения решений используем прежний приём - вводим переменные $u,v$
$x=u-2v, y=u+2v,z=u$. Тогда $(x^2-1)(y^2-1)-(z^2-1)^2=-8v^2{(u^2-2v^2+1)}$
и все решения исходного уравнения находятся через известные решения уравнения Пелля $u^2-2v^2=-1$.
Такая же история с уравнением $(x^2-1)(y^2-1)=(z^2-b^2)^2$. Его можно свести либо к уравнению Пелля $u^2-(b^2+1)v^2=-1$. либо к уравнению $u^2-(b^2-1)v^2=1$. Правда, все решения исходного уравнения для $b>1$ таким образом не получаются.
Результат с $b=1$ принадлежит Серпинскому и Шинцелю.
Предлагаю к решению 2 задачи разного уровня сложности - от меньшего к большему.
Найдите:
1. 1-параметрическое решение уравнения $(x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)$ в целых числах $x,y,z$.
2. 1-параметрическое решение уравнения $(x^3-x)(y^3-y)=(z^3-z)$ в рациональных числах $x,y,z$. (Решения типа $x=t, z=y=1$ нежелательны).

[Andrey A]

scwec в сообщении #1378674 писал(а):

1-параметрическое решение уравнения $(x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)$ в целых числах $x,y,z$.

Это уже рассматривалось здесь. Можно взять $x$ за аргумент и получить полное решение, хотя требуется факторизация $x.$ 1-параметрическое можно выписать, конечно, в общем виде, но есть ли смысл? P.S. Оно, впрочем, там и выписано, правда нуль-параметрическое :) Для простого $x$ разве есть другие?

[scwec]

Поскольку обсуждалось, то замена:
$x^2{(x+1)}y^2{(y+1)}=z^2{(z+1)}$
1-параметрическое решение в рациональных числах $x,y,z$, а лучше общее решение.
Кроме того, есть ещё номер 2.

[Andrey A]

Для последнего уравнения находятся нуль-параметрические решения, но, согласен, они тут неинтересны. А для $(x^3-x)(y^3-y)=(z^3-z)$ например такое годится:

$$x=\dfrac{(r+1)^2-2}{r^2+1},y=\dfrac{(r-1)^2-2}{r^2+1}, z=xy.$$

[scwec]

1. С номером 2: параметризация подходящая. Фактически параметризована целиком одна рациональная кривая, полученная при пересечении двух 2-поверхностей в $\mathbb{R}^3$:
$(x^2-1)x{(y^2-1)}y-z{(z^2-1)}=0, xy=z$ и спроектированная на плоскость $(x,y)$.
Вот другая параметризация: $x=r, y=\dfrac{r^3-r-2}{r^3-r+1}, z=\dfrac{-2r^3+2r+1}{r^3-r+1}$. Она дает рациональные точки на множестве эллиптических кривых,
полученных при пересечении поверхности исходного уравнения и плоскости $x=r$ (по одной рациональной точке на каждой кривой при изменении $r$).
Таких параметризаций существует бесконечное число.

2. С первым номером: 0-факторизация получается, если опять положить $z=xy$. Это действительно не интересно.
Чтобы получить общее решение, тут нужно поступить по-другому.
Ответ напишу, если будут затруднения.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1378712 писал(а):

$x^2{(x+1)}y^2{(y+1)}=z^2{(z+1)}$ ... общее решение.

$x=bca^2-1;\ y=\dfrac{m(cm^2-bn^2)}{\pm c(abn)^3\mp ab^2n^3-cm^3};\ z=\pm xy\dfrac{abn}{m}.$

[Andrey A]

PS Возможно, хватило бы и двух параметров: $x=ab-1,\ y=\dfrac{a-b}{b^2x-a}, z=bxy$, но тогда 5-параметрическое должно сводится сюда какими-то неущербными заменами, а какими я не знаю.
Всё дело в уравнении $xyz=t^2.$ Исходя из логики рациональных чисел, решение такое: $x=ab,y=bc,z=ca$, поскольку параметры $a,b,c$ определены через $x,y,z$ однозначно. Но исходя из логики целых чисел, оно такое: $ x=abv_1^2,y=bcv_2^2,z=cav_3^2$, в точности как целочисленное. Что с этим делать, я не очень понимаю.

[scwec]

Имелось в виду ввести две переменных $r=y, t=\dfrac{x}{z}$, тогда
$x=\dfrac{t(1-t^2{r^3}-t^2{r^2})}{t^3{r^3}+t^3{r^2}-1}$,
$y=r$,
$z=\dfrac{1-t^2{r^3}-t^2{r^2}}{t^3{r^3}+t^3{r^2}-1}$.
(Пересечения поверхности исходного уравнения и плоскостей $y=r$ являются рациональными кривыми).

[Andrey A]

Интересно. В Вашем решении то преимущество, что одна переменная – свободный аргумент, моё на вид проще. Пробую совместить полезное с приятным: $x=ab-1=r \Rightarrow a=\dfrac{r+1}{b}.$ Тогда еще такое решение: $x=r,\ y=\dfrac{r+1-b^2}{b^3r-r-1}, z=\dfrac{br(r+1-b^2)}{b^3r-r-1}$, и все работают. Интересно.

[scwec]

После успешно проведенных решений предложу ещё одно уравнение, отличающееся от номера 2 одним знаком:
$(x^3-x)(y^3+y)=z^3-z$
Вопрос тот же. Найти для этого уравнения 1-параметрическое решение в рациональных числах $x,y,z$.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1379945 писал(а):

... $(x^3-x)(y^3+y)=z^3-z$

$x=\dfrac{(r+1)^2-4}{r^2+3},y=-\dfrac{(r-1)^2-4}{r^2+3},z=y^2.$

[dmd]

А для такого замечательного уравнения $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$ в целых числах можно подобрать рациональную параметризацию?

[scwec]

Решение Andrey A нравится . Хотя линия пересечения поверхности исходного уравнения и поверхности $z=y^2$, спроектированная на плоскость $(x,y)$ не рациональная кривая, но она распадается на прямую $x=y$ и рациональную кривую $x^2+xy+y^2=1$. Эта кривая рациональной параметризации подлежит.
Приведу еще 2 примера 1-параметризации рассматриваемого уравнения, полученные из совсем других соображений.

1.x = (r-2+r^3)/(r^3+r+1), y = r, z = -(2*r^3+2*r-1)/(r^3+r+1),
2.x = r, y = -6*r*(r^2-1)/(-8+r^6-2*r^4+r^2), z = -(2*(r^6-2*r^4+r^2+4))/(-8+r^6-2*r^4+r^2).

Таких параметризаций существует бесконечное количество.
Теперь, что касается вопроcа dmd.
Хорошо бы получить 1-параметризацию уравнения $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$ в рациональных числах.
Можно утверждать, что для любого целого $y$ существует бесконечное число рациональных $x$, так что левая часть уравнения является квадратом рационального числа.
Для успешного решения больше подошло бы нахождение 1-параметрического решения в рациональных числах уравнения $(x^3-x)(y^3-y)=z^2$.

[scwec]

1-параметрические решения для уравнения, предложенного dmd $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$ в рациональных числах $x,y,z$ :
$x=\dfrac{t+2}{t-1}, y=t, z=\dfrac{3(t^2+t+1)}{t-1}$,
ещё одно:
$x =\dfrac{t(t^3+8)}{4(t^3-1)}, y = t, z = \dfrac{t^6-20t^3-8}{8(t^3-1)}$
и т.д.
Их бесконечное число.
Вычленять целые решения приходится из бесконечной общности таких рациональных решений.

[dmd]

scwec, Andrey A
Объясните пожалуйста в общих чертах, как Вы действуете, чтоб получить ту или иную целую/рациональную параметризацию.