Ограничимся случаем малых деформаций.
Тело будем считать упругим, тензор малых деформаций
![$\boldsymbol{\varepsilon}$ $\boldsymbol{\varepsilon}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/5/de5ce186ed9035a179678d58afc1706c82.png)
и тензор напряжений Коши
![$\boldsymbol{\sigma}$ $\boldsymbol{\sigma}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/3/ef3df3614ba33a09c280df1272e343e982.png)
связаны взаимно однозначным образом.
Рассмотрим тело, занимающее объем
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
. Пусть к части границы тела
![$S_1$ $S_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/4/264fba1c7ab2f0bc1611dac6780708a682.png)
приложены распределенные усилия
![$\boldsymbol{p}$ $\boldsymbol{p}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/f/bcff4dc92cb41d9253aab8a5492c012782.png)
, то есть
![$\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\sigma}|_{S_1} = \boldsymbol{p}$ $\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\sigma}|_{S_1} = \boldsymbol{p}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/4/364e64db5bd2c03a7c2069d0d792e28e82.png)
,
![$\boldsymbol{n}$ $\boldsymbol{n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/b/80b1d7a2efaadc5648fe2d46ea3522a782.png)
- нормаль к границе. На остальной части границы
![$S_2$ $S_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/8/7684afeaf2968f03abc32b7d309d9ff282.png)
, заданы перемещения
![$\boldsymbol{u}|_{S_2} = \boldsymbol{u}_s$ $\boldsymbol{u}|_{S_2} = \boldsymbol{u}_s$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/4/3e48f619cf38159806fe39b97a0e977a82.png)
. На тело так же может действовать поле массовых сил
![$\boldsymbol{f}$ $\boldsymbol{f}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/5/2959e0aee5da5a6faaa1ce5437c3f5f582.png)
.
Вариационный принцип Кастильяно гласит, что среди полей напряжений, удовлетворяющих уравнению равновесия
![$\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho\boldsymbol{f} = \boldsymbol{0}$ $\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho\boldsymbol{f} = \boldsymbol{0}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/5/085933d52c34436b162d2fd8ea6535af82.png)
(
![$\rho$ $\rho$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/e/6dec54c48a0438a5fcde6053bdb9d71282.png)
- плотность) и граничным условиям на
![$S_1$ $S_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/4/264fba1c7ab2f0bc1611dac6780708a682.png)
, истинное поле напряжений (то есть такое поле напряжений, которому соответствует совместное поле деформаций) задает стационарное значение функционалу Кастильяно (или дополнительной работе):
![$\Psi(\boldsymbol{\sigma}) = \int\limits_V \Lambda dV + \int\limits_{S_2} \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{u}_s ds, \qquad \Lambda = \int\limits_{\boldsybol{0}}^{\boldsymbol{\sigma}}\boldsymbol{\varepsilon}(\boldsymbol{\sigma}^*):d\boldsymbol{\sigma}^*$ $\Psi(\boldsymbol{\sigma}) = \int\limits_V \Lambda dV + \int\limits_{S_2} \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{u}_s ds, \qquad \Lambda = \int\limits_{\boldsybol{0}}^{\boldsymbol{\sigma}}\boldsymbol{\varepsilon}(\boldsymbol{\sigma}^*):d\boldsymbol{\sigma}^*$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/6/306809c61d97c990f747e09c4770d60e82.png)
, то есть
![$\delta \Psi = 0$ $\delta \Psi = 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/4/7047e351db3a3ba9fadcd18f77d4d1a682.png)
, двоеточием обозначена операция свертки. Причем интеграл в выражении для
![$\Lambda$ $\Lambda$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/3/b23332f99af850a48831f80dbf681ed682.png)
не зависит от пути интегрирования вследствие упругости тела.
В случае когда тензор малых деформаций
![$\boldsymbol{\varepsilon}$ $\boldsymbol{\varepsilon}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/5/de5ce186ed9035a179678d58afc1706c82.png)
и тензор напряжений Коши
![$\boldsymbol{\sigma}$ $\boldsymbol{\sigma}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/3/ef3df3614ba33a09c280df1272e343e982.png)
связаны линейно (линейная теория упругости), интеграл в выражении для
![$\Lambda$ $\Lambda$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/3/b23332f99af850a48831f80dbf681ed682.png)
можно раскрыть:
![$\Lambda = \int\limits_{\boldsybol{0}}^{\boldsymbol{\sigma}}\boldsymbol{\varepsilon}(\boldsymbol{\sigma}^*):d\boldsymbol{\sigma}^* = \frac{1}{2} \boldsymbol{\varepsilon}:\boldsymbol{\sigma} $\Lambda = \int\limits_{\boldsybol{0}}^{\boldsymbol{\sigma}}\boldsymbol{\varepsilon}(\boldsymbol{\sigma}^*):d\boldsymbol{\sigma}^* = \frac{1}{2} \boldsymbol{\varepsilon}:\boldsymbol{\sigma}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/7/f97d49d8d7c57283780e5b4951fa372882.png)
, или в компонентах декартовой системы координат:
![$\Lambda = \frac{1}{2}\varepsilon_{ij}\sigma_{ij} $\Lambda = \frac{1}{2}\varepsilon_{ij}\sigma_{ij}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/b/72b0585b1ef2256888e1c388ee0fa02f82.png)