Теорема Кастильяно в теории упругости

[follow_the_sun]

Всем привет! Правильно ли я понимаю, что теорема Кастильяно (вариационный принцип Кастильяно) утверждает следующее:
Если система находится в равновесии под действием некоторой суммы сил $F_a$, а к ней прикладывают еще некоторые силы $F_b$, то для совместности деформации работа сил $F_b$ должна быть равна нулю. Значит в первом приближении не меняется потенциальная энергия упругой деформации $\delta U=0$

[optimist]

Ограничимся случаем малых деформаций.

Тело будем считать упругим, тензор малых деформаций $\boldsymbol{\varepsilon}$ и тензор напряжений Коши $\boldsymbol{\sigma}$ связаны взаимно однозначным образом.

Рассмотрим тело, занимающее объем $V$. Пусть к части границы тела $S_1$ приложены распределенные усилия $\boldsymbol{p}$, то есть $\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\sigma}|_{S_1} = \boldsymbol{p}$, $\boldsymbol{n}$ - нормаль к границе. На остальной части границы $S_2$, заданы перемещения $\boldsymbol{u}|_{S_2} = \boldsymbol{u}_s$. На тело так же может действовать поле массовых сил $\boldsymbol{f}$.

Вариационный принцип Кастильяно гласит, что среди полей напряжений, удовлетворяющих уравнению равновесия $\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho\boldsymbol{f} = \boldsymbol{0}$ ($\rho$ - плотность) и граничным условиям на $S_1$, истинное поле напряжений (то есть такое поле напряжений, которому соответствует совместное поле деформаций) задает стационарное значение функционалу Кастильяно (или дополнительной работе):
$\Psi(\boldsymbol{\sigma}) = \int\limits_V \Lambda dV + \int\limits_{S_2} \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{u}_s ds, \qquad \Lambda = \int\limits_{\boldsybol{0}}^{\boldsymbol{\sigma}}\boldsymbol{\varepsilon}(\boldsymbol{\sigma}^*):d\boldsymbol{\sigma}^*$
, то есть $\delta \Psi = 0$, двоеточием обозначена операция свертки. Причем интеграл в выражении для $\Lambda$ не зависит от пути интегрирования вследствие упругости тела.

В случае когда тензор малых деформаций $\boldsymbol{\varepsilon}$ и тензор напряжений Коши $\boldsymbol{\sigma}$ связаны линейно (линейная теория упругости), интеграл в выражении для $\Lambda$ можно раскрыть:
$\Lambda = \int\limits_{\boldsybol{0}}^{\boldsymbol{\sigma}}\boldsymbol{\varepsilon}(\boldsymbol{\sigma}^*):d\boldsymbol{\sigma}^* = \frac{1}{2} \boldsymbol{\varepsilon}:\boldsymbol{\sigma}
, или в компонентах декартовой системы координат:
$\Lambda = \frac{1}{2}\varepsilon_{ij}\sigma_{ij}

[follow_the_sun]

optimist
Мне потребуется время, чтобы разобраться в этом). Можно ведь просто выразить функционал Кастильяно через потенциальную энергию деформаций, которую связать с напряжениями по закону Гука, последние, в свою очередь, выразить через функцию Эри?

[optimist]

follow_the_sun в сообщении #1379082 писал(а):

Можно ведь просто выразить функционал Кастильяно через потенциальную энергию деформаций?

Вообще говоря нет, но в случае линейной теории упругости, с натяжкой можно сказать что да. Поясню.
Потенциальная энергия упругих деформаций находится как
$W = \int\limits_{\boldsybol{0}}^{\boldsymbol{\varepsilon}}\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\varepsilon}^*):d\boldsymbol{\varepsilon}^*$
и не равна $\Lambda$, однако в линейном случае
$W = \frac{1}{2} \boldsymbol{\varepsilon}:\boldsymbol{\sigma} = \Lambda.$
В одномерном случае, $W$ будет равна площади под графиком $\sigma(\varepsilon)$, а $\Lambda$ будет равна площади слева от графика $\sigma(\varepsilon)$ (или, что то же самое, площади под графиком $\varepsilon(\sigma)$). Очевидно, что в линейном случае ($\sigma=k\varepsilon$), они будут совпадать.

follow_the_sun в сообщении #1379082 писал(а):

которую связать с напряжениями по закону Гука, последние, в свою очередь, выразить через функцию Эри?

Здесь все верно (если речь идет о задаче с плоским напряженным состоянием).