2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема Кастильяно в теории упругости
Сообщение28.02.2019, 12:57 
Аватара пользователя


21/06/18
328
Всем привет! Правильно ли я понимаю, что теорема Кастильяно (вариационный принцип Кастильяно) утверждает следующее:
Если система находится в равновесии под действием некоторой суммы сил $F_a$, а к ней прикладывают еще некоторые силы $F_b$, то для совместности деформации работа сил $F_b$ должна быть равна нулю. Значит в первом приближении не меняется потенциальная энергия упругой деформации $\delta U=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кастильяно в теории упругости
Сообщение28.02.2019, 18:01 


27/10/17
56
Ограничимся случаем малых деформаций.

Тело будем считать упругим, тензор малых деформаций $\boldsymbol{\varepsilon}$ и тензор напряжений Коши $\boldsymbol{\sigma}$ связаны взаимно однозначным образом.

Рассмотрим тело, занимающее объем $V$. Пусть к части границы тела $S_1$ приложены распределенные усилия $\boldsymbol{p}$, то есть $\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\sigma}|_{S_1} = \boldsymbol{p}$, $\boldsymbol{n}$ - нормаль к границе. На остальной части границы $S_2$, заданы перемещения $\boldsymbol{u}|_{S_2} = \boldsymbol{u}_s$. На тело так же может действовать поле массовых сил $\boldsymbol{f}$.

Вариационный принцип Кастильяно гласит, что среди полей напряжений, удовлетворяющих уравнению равновесия $\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho\boldsymbol{f} = \boldsymbol{0}$ ($\rho$ - плотность) и граничным условиям на $S_1$, истинное поле напряжений (то есть такое поле напряжений, которому соответствует совместное поле деформаций) задает стационарное значение функционалу Кастильяно (или дополнительной работе):
$\Psi(\boldsymbol{\sigma}) = \int\limits_V \Lambda dV + \int\limits_{S_2} \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{u}_s ds, \qquad \Lambda = \int\limits_{\boldsybol{0}}^{\boldsymbol{\sigma}}\boldsymbol{\varepsilon}(\boldsymbol{\sigma}^*):d\boldsymbol{\sigma}^*$
, то есть $\delta \Psi = 0$, двоеточием обозначена операция свертки. Причем интеграл в выражении для $\Lambda$ не зависит от пути интегрирования вследствие упругости тела.

В случае когда тензор малых деформаций $\boldsymbol{\varepsilon}$ и тензор напряжений Коши $\boldsymbol{\sigma}$ связаны линейно (линейная теория упругости), интеграл в выражении для $\Lambda$ можно раскрыть:
$\Lambda = \int\limits_{\boldsybol{0}}^{\boldsymbol{\sigma}}\boldsymbol{\varepsilon}(\boldsymbol{\sigma}^*):d\boldsymbol{\sigma}^* = \frac{1}{2} \boldsymbol{\varepsilon}:\boldsymbol{\sigma}
, или в компонентах декартовой системы координат:
$\Lambda = \frac{1}{2}\varepsilon_{ij}\sigma_{ij}

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кастильяно в теории упругости
Сообщение28.02.2019, 18:40 
Аватара пользователя


21/06/18
328
optimist
Мне потребуется время, чтобы разобраться в этом). Можно ведь просто выразить функционал Кастильяно через потенциальную энергию деформаций, которую связать с напряжениями по закону Гука, последние, в свою очередь, выразить через функцию Эри?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кастильяно в теории упругости
Сообщение28.02.2019, 19:04 


27/10/17
56
follow_the_sun в сообщении #1379082 писал(а):
Можно ведь просто выразить функционал Кастильяно через потенциальную энергию деформаций?

Вообще говоря нет, но в случае линейной теории упругости, с натяжкой можно сказать что да. Поясню.
Потенциальная энергия упругих деформаций находится как
$W = \int\limits_{\boldsybol{0}}^{\boldsymbol{\varepsilon}}\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\varepsilon}^*):d\boldsymbol{\varepsilon}^*$
и не равна $\Lambda$, однако в линейном случае
$W = \frac{1}{2} \boldsymbol{\varepsilon}:\boldsymbol{\sigma} = \Lambda.$
В одномерном случае, $W$ будет равна площади под графиком $\sigma(\varepsilon)$, а $\Lambda$ будет равна площади слева от графика $\sigma(\varepsilon)$ (или, что то же самое, площади под графиком $\varepsilon(\sigma)$). Очевидно, что в линейном случае ($\sigma=k\varepsilon$), они будут совпадать.
follow_the_sun в сообщении #1379082 писал(а):
которую связать с напряжениями по закону Гука, последние, в свою очередь, выразить через функцию Эри?

Здесь все верно (если речь идет о задаче с плоским напряженным состоянием).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group