Функция Дирихле в интуитивном понимании

[Munuvonaza]

Функция Дирихле, определяемая для любого вещественного числа, принимает значение 0 или 1, в зависимости от того, является ли число рациональным или иррациональным, и определяется такой формулой $f(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\lim_{j\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)$

Формула кажется сложной, но при детальном рассмотрении можно увидеть следующую интуитивно-понятную трактовку. Число $k!$ при стремлении $k$ к бесконечности, будет включать в себя перемножение всех натуральных чисел. Любое число $x$, если оно является рациональным, представляет собой отношение двух натуральных чисел, плюс знак. Соответственно выражение $x \cdot k!$ при стремлении $k$ к бесконечности, всегда будет целым числом, поскольку $k!$ гарантированно поглотит знаменатель числа $x$, и останется большое целое положительное или отрицательное число. Косинус целого числа, умноженного на $\pi$, всегда является $+1$ или $-1$. После возведения в степень $2j$, выражение гарантированно превратится в единицу, что дает верный результат для рационального числа

В случае иррационального числа, выражение $x \cdot k!$ при любом $k$ не будет целым числом, поскольку умножение иррационального на целое - это иррациональное число. Таким образом косинус $x \cdot k! \cdot \pi$ никогда не будет равен единице, а будет в диапазоне от 0 до 1 не включительно. После возведения такого числа в бесконечно большую степень $2j$, получится ноль, что дает верный результат для иррационального числа

В связи в этим два вопроса - во-первых, верно ли такое интуитивное трактование формулы? И во-вторых, зачем нужно два предела и две переменные, если обе все равно бесконечно большие? И самое главное, почему сначала считается предел по степени, а потом по факториалу, хотя интуитивное объяснение, согласующееся с верным результатом, предполагает обратное? Спасибо!

[Null]

Предела $\lim_{k\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}$ может не существовать

[Munuvonaza]

Null в сообщении #1376725 писал(а):

Предела $\lim_{k\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}$ может не существовать

Окей, спасибо! А есть ли простое объяснение, за счет чего существует двойной предел, если нет одиночного? В смысле, что пределы считаются от самого вложенного к самому верхнему, и если предел в середине не определен, то ведь не смысла продолжать операцию?

И еще вопрос - зачем используется бесконечная положительная степень косинуса вместо функции вроде floor, которая округлила бы получившееся число в диапазоне [0,1] до 0 для иррациональных чисел и 1 для рациональных?

[mihaild]

Munuvonaza в сообщении #1378533 писал(а):

В смысле, что пределы считаются от самого вложенного к самому верхнему, и если предел в середине не определен, то ведь не смысла продолжать операцию?

Да, так. Если внутренний предел не существует, то не определено, от чего вообще берется верхний предел.

Munuvonaza в сообщении #1378533 писал(а):

зачем используется бесконечная положительная степень косинуса вместо функции вроде floor

А как именно вы хотите ее использовать?
Вообще можно функцию Дирихле задавать разными способами. Указанный вами в начальном посте способ хорош тем, что $\cos$ - элементарная функция. И еще это пример демонстрирует, что двумя взятиями предела можно из непрерывной (и даже аналитической!) функции сделать всюду разрывную.
(а вот одиночным не получится)

[alcoholist]

Munuvonaza в сообщении #1378533 писал(а):

зачем используется

чтобы показать, что это предел последовательности непрерывных функций