2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функция Дирихле в интуитивном понимании
Сообщение17.02.2019, 13:28 
Аватара пользователя


16/05/12
66
Функция Дирихле, определяемая для любого вещественного числа, принимает значение 0 или 1, в зависимости от того, является ли число рациональным или иррациональным, и определяется такой формулой $f(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\lim_{j\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)$

Формула кажется сложной, но при детальном рассмотрении можно увидеть следующую интуитивно-понятную трактовку. Число $k!$ при стремлении $k$ к бесконечности, будет включать в себя перемножение всех натуральных чисел. Любое число $x$, если оно является рациональным, представляет собой отношение двух натуральных чисел, плюс знак. Соответственно выражение $x \cdot k!$ при стремлении $k$ к бесконечности, всегда будет целым числом, поскольку $k!$ гарантированно поглотит знаменатель числа $x$, и останется большое целое положительное или отрицательное число. Косинус целого числа, умноженного на $\pi$, всегда является $+1$ или $-1$. После возведения в степень $2j$, выражение гарантированно превратится в единицу, что дает верный результат для рационального числа

В случае иррационального числа, выражение $x \cdot k!$ при любом $k$ не будет целым числом, поскольку умножение иррационального на целое - это иррациональное число. Таким образом косинус $x \cdot k! \cdot \pi$ никогда не будет равен единице, а будет в диапазоне от 0 до 1 не включительно. После возведения такого числа в бесконечно большую степень $2j$, получится ноль, что дает верный результат для иррационального числа

В связи в этим два вопроса - во-первых, верно ли такое интуитивное трактование формулы? И во-вторых, зачем нужно два предела и две переменные, если обе все равно бесконечно большие? И самое главное, почему сначала считается предел по степени, а потом по факториалу, хотя интуитивное объяснение, согласующееся с верным результатом, предполагает обратное? Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Дирихле в интуитивном понимании
Сообщение17.02.2019, 22:17 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Предела $\lim_{k\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}$ может не существовать

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Дирихле в интуитивном понимании
Сообщение26.02.2019, 17:46 
Аватара пользователя


16/05/12
66
Null в сообщении #1376725 писал(а):
Предела $\lim_{k\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}$ может не существовать

Окей, спасибо! А есть ли простое объяснение, за счет чего существует двойной предел, если нет одиночного? В смысле, что пределы считаются от самого вложенного к самому верхнему, и если предел в середине не определен, то ведь не смысла продолжать операцию?

И еще вопрос - зачем используется бесконечная положительная степень косинуса вместо функции вроде floor, которая округлила бы получившееся число в диапазоне [0,1] до 0 для иррациональных чисел и 1 для рациональных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Дирихле в интуитивном понимании
Сообщение26.02.2019, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8348
Цюрих
Munuvonaza в сообщении #1378533 писал(а):
В смысле, что пределы считаются от самого вложенного к самому верхнему, и если предел в середине не определен, то ведь не смысла продолжать операцию?
Да, так. Если внутренний предел не существует, то не определено, от чего вообще берется верхний предел.

Munuvonaza в сообщении #1378533 писал(а):
зачем используется бесконечная положительная степень косинуса вместо функции вроде floor
А как именно вы хотите ее использовать?
Вообще можно функцию Дирихле задавать разными способами. Указанный вами в начальном посте способ хорош тем, что $\cos$ - элементарная функция. И еще это пример демонстрирует, что двумя взятиями предела можно из непрерывной (и даже аналитической!) функции сделать всюду разрывную.
(а вот одиночным не получится)

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Дирихле в интуитивном понимании
Сообщение28.02.2019, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Munuvonaza в сообщении #1378533 писал(а):
зачем используется

чтобы показать, что это предел последовательности непрерывных функций

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group