Найти ошибку в решении диофантова уравнения

[TR63]

Но вернёмся к нашим баранам. Т.е. к задаче, которая была сочтена слишком элементарной, а метод, предложенный для её решения, никчемным. И, коль это так, то попробуем усложнить её:
$x^4-mbx+(1+m)=0$, $(m;b)\in N$, $m>1$, $b>1$
1). (Лёгкая.) При каком условии на переменные $(m;b)$ сумма действительных корней уравнения не является натуральной?
В исходном уравнении сделаем замену переменных $a=x-\alpha$. Тогда в новом уравнении будут корни с противоположными знаками и можно применить теорему Орландо.

Shadow в сообщении #996368 писал(а):

Новое уравнение принимает вид (только я заменил $\alpha$ на $a$, лень писать):
$x^4-4 a x^3+6a^2x^2-(4a^3+bm)x+a^4+abm+m+1=0$. Теперь по теореме Орландо должно выполнятся:

$4a\cdot 6a^2\cdot(4a^3+bm)=16a^2(a^4+abm+m+1)+(4a^3+bm)^2$

в итоге, если и я нигде не ошибся:

$64a^6-16(m-1)a^2-b^2m^2=0$. И так как $a=\dfrac n 2,\;n \in \mathbb{N}$

$\alpha_1=2\alpha$, $\alpha_1\in N$
$\alpha_1^6-4(m-1)\alpha_1^2-(bm)^2=0$
Ответ(частичный):
$b=4n-2$
$m=2k+1$

2). (Думаю, сложнее, но, возможно, не для спецов.) Существует ли натуральная сумма действительных корней в заданном уравнении?
3). Можно ли такие задачи решить без использования формулы Орландо? (Этот вопрос касается задачи и в самой простой постановке.)

[TR63]

Видно, предложенная задачка настолько "малосодержательна" (с), что no comment.

(Оффтоп)

Разбежались кто куда
Все ЗУ и господа.
Я одна на берегу,
И не слышно ни гу-гу.

Да, были раньше джентльмены.
А, нынче пошлость и измены.
Не верьте девочки и дамы
Разумным и крутым самым.

Имеется ещё контрпример к формуле Орландо, а, значит, и к теореме Гурвица об устойчивости в качестве критерия. Т. е. эта теорема Гурвица, по крайней мере, не является критерием? Прошу поправить, если я ошибаюсь и указать, где именно я ошибаюсь. Иначе я буду считать, что причина несоответствия теории и практики в аксиоматике. Но этого, ведь, не может быть. Задачка школьного уровня. Форум научный. Жду помощи. Вот, контрпример:
$x^4-px^2+qx+r=0$
$x^4-2x^2+2x+3=0$
$f=z^3-0.5pz^2-0.25(r-0.25p^2)z-0.015625q^2$
$z_1=-1.2172$
$z_2=-0.022923$
$z_3=2.2401$
Из формулы Орландо следует (результат размещён в Вике; значит, специалисты проверили логический вывод школьного уровня (если кто этому не верит и самостоятельно логически вывесть не может, можно ограничиться первым контрпримером); ссылка указана выше), что уравнение не может иметь действительных корней. Но оно имеет их, аж, две штуки. Противоречие.

[TR63]

Продолжим проверку теории практикой. Напомню, квадрат действительной части комплексного корня уравнения $x^4+px^2+qx+r=0$ можно вычислить, по крайней мере, тремя способами, не считая метода Феррари:
1). С помощью формулы Орландо. (Этот метод был рассмотрен ранее.)
$a^2=z$
$z^3+\frac1 2pz^2-\frac1 4(r-\frac1 4p^2)z-\frac{1} {64}q^2=0$
2). С помощью замены переменных $x=a+bi$ в уравнении $x^4+px^2+qx+r=0$.
$[a^4-6a^2b^2+a^2p+aq+b^4-b^2p+r]+[4a^3b-4ab^3+2abp+bq]i=0$
3). С помощью Вольфрама.
Рассмотрим конкретное уравнение $x^4+3x^2-3.5x+1=0$
Первый и второй способ дают одно и то же уравнение $z^3+\frac3 2z^2+\frac{5}{16}z-\frac{12.25}{64}=0$. Все три способа дают один ответ $a=\pm0.503098$.
Т.е. в данном конкретном случае теория подтвердилась практикой. Остаётся выяснить, почему имеются контрпримеры. Версии:
1). Арифметическая ошибка.
2). Логическая ошибка.
3). Ни то, ни другое (но прежде надо исключить первые две версии).

[TR63]

TR63 в сообщении #1070201 писал(а):

Остаётся выяснить, почему имеются контрпримеры.

Сегодня, прочитав в разделе "Активные темы" пост об уравнениях четвёртой степени, пересчитала свои "контрпримеры" на Вольфраме. Оказывается, теперь Вольфрам считает так, что всё сходится с расчётами по моей формуле. Возможно, я раньше не совсем правильно пользовалась его результатами (уж не знаю и не помню; главное, что сейчас всё сходится и сомнений в верности метода нет; возможно, как-нибудь перепишу его в отдельную тему, поскольку в этой много лишнего).

[TR63]

Замечание.

Тот факт, что логические выводы совпали с арифметическими расчётами, не противоречит результатам, полученным на основании используемой в предварительных рассуждениях гипотезы (хотя сами результаты расходились; сейчас стало ясно, почему они расходились: из-за неучтённой области определения; проще было получить арифметические расчёты и они, как теперь оказалось, подтверждаются; да ещё в другой здешней теме предложен третий способ вычисления квадрата действительной части комплексного корня уравнения четвёртой степени, и там, даже, область шире, а это существенно для области определения, на которой рассматривается гипотеза).
В общем теперь вопросов нет.