Кольцо

[dovlato]

Приведу свои соображения, на ваш суд.
Выделим произвольный малый элемент плоскости $dS$ внутри плоского контура произвольной формы. Выделим также произвольный малый кусочек контура; ток, текущий через него, создаёт определённый поток магнитного поля через $dS$.
Изменим теперь все линейные размеры контура в $k$ раз, сохраняя его форму; заметим, что площадь элемента $dS$ при этом изменится в $k^2$ раз.
Поток через $dS$ от того самого кусочка контура в конечном счёте изменяется в $k$ раз.
Но если это так, то приходим к выводу, что и весь поток поля внутри контура прямо пропорционален линейным размерам контура. Буду благодарен, если мне объяснит, где в этом рассуждении ошибка.

[EUgeneUS]

dovlato в сообщении #1378553 писал(а):

Буду благодарен, если мне объяснит, где в этом рассуждении ошибка.

Тут нет ошибки.
Но в этих выкладках Вы должны изменять действительно все размеры, в том числе и размеры проводников.

Если посмотреть справочные формулы для индуктивности контуров разных форм, то можно заметить, что индуктивность контура можно представить в виде произведения:
$L = \mu_0 r \Lambda()$, где:

$\mu_0$ - размерный множитель
$r$ - характерный размер контура
$\Lambda()$ - безразмерная функция, вид которой зависит от формы контура, а аргументами которой являются относительные размеры контура.
Важно, что один из её аргументов - относительная толщина проводника.
А самая пакость в том, что если относительную толщину проводника устремить к нулю, $\Lambda()$ устремится, радостно стуча копытами, к бесконечности.Мы попадем в сингулярность и там погибнем.

[dovlato]

Спасибо большое. Я про провод забыл. Хоть про копыта те и знал)).
Жаль, красиво могло получиться.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1378555 писал(а):

Тут нет ошибки

UPD: за исключением того, что контур совсем не обязательно считать плоским, это для любого контура справедливо (с уточнениями, которые обсудили выше).

-- 26.02.2019, 22:09 --

dovlato
UPD2

dovlato в сообщении #1378557 писал(а):

Жаль, красиво могло получиться.

формула для индуктивности кругового витка (постоянный ток):

$L = \mu_0 r (\ln(\frac{8r}{a}) - 1.75 + O(\frac{a^2}{r^2})) \sim \mu_0 r \ln(\frac{1.4 r}{a})$

можно попробовать подобрать такие условия, чтобы получилось "красиво", без трансцендентных уравнений. Но, конечно, кольцо должно расширяться с некого $r_0 >> a$, а не с нуля.

[dovlato]

А что, радиус провода в формуле отсутствует? Ох, только сейчас увидел $a$.
Действительно, плоским ему быть совсем не обязательно.. хоть моток проволоки.

[EUgeneUS]

dovlato
Кстати, если потребовать очень-очень тонкую проволоку, такую что $\ln(\frac{r_0}{a}) >> 1$, то получится почти то, что Вы хотели:
если при удвоении радиуса от $r_0$ до $2r_0$ из источника вытянули энергию $A$, то при следующем удвоении, от $2r_0$ до $4r_0$, из источника будет вытянута энергия $2A$.

[dovlato]

Почти асимптотика - в связи медленностью изменения логарифма

$$\ln{2A}/\ln{A}=1+\ln2/\ln{A}\sim 1\quad (A\gg 1)$$

[Igrickiy(senior)]

Предлагаю такой вариант.
Индуктивность по определению вводится как коэффициент пропорциональности между током и создаваемым им потоком магнитного поля:
$\Phi=LI$
По закону электромагнитной индукции:
$\mathcal{E}_i=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{dLI}{dt}$
В подобных задачах индуктивность считается постоянной величиной, поэтому
$\mathcal{E}_i=-L\frac{dI}{dt}$
В этой задаче индуктивность изменяется. а сила тока предполагается постоянной. Отсюда и выражение иное:
$\mathcal{E}_i=-I\frac{dL}{dt}$
По закону Ома:
$IR=\mathcal{E}+\mathcal{E}_i$
где $$\mathcal{E}$ - ЭДС источника, которая в каждый момент времени должна быть именно такой, чтобы поддерживать силу тока,равную заданной величине $I$.
По условию омическими потерями пренебрегаем, поэтому окончательно:
$\mathcal{E}+\mathcal{E}_i$=0
или
$\mathcal{E}=I\frac{dL}{dt}$
Мощность источника
$\mathcal{E}I=I^2\frac{dL}{dt}$
Работа источника за время от начала до $T$:
$A=I^2(L(T)-L(0))$
Последний шаг - определение зависимости индуктивности $L$ от времени или, что эквивалентно, от размеров кольца.
Из соображений размерности из величин, характеризующих кольцо, а именно - радиуса кольца $R$ и радиуса провода $r$, из которого сделано кольцо, можно сконструировать единственную величину с размерностью индуктивности (с очевидным использование ещё и $\mu_0$ - магнитной постоянной)
$L=\mu_0Rf(\frac{R}{r})$,
где $f$ - неизвестная функция (вид которой нам и не нужен).
Представляется очевидным, что при "росте" кольца подобие сохраняется, поэтому исходное значение отношения $\frac{R}{r}$ и значение самой функции $f$ при деформации не изменяется.
Отсюда прямой вывод:
$A\sim{R}$
Для дополнительного расширения от $R$ до $2R$ нужно совершить ещё такую же работу - $A$.

[EUgeneUS]

Igrickiy(senior) в сообщении #1378748 писал(а):

Представляется очевидным, что при "росте" кольца подобие сохраняется, поэтому исходное значение отношения $\frac{R}{r}$ и значение самой функции $f$ при деформации не изменяется.

Мне это не представляется очевидным.
Более того, какой-то странный образ возникает.

[Igrickiy(senior)]

EUgeneUS в сообщении #1378948 писал(а):

Мне это не представляется очевидным.
Более того, какой-то странный образ возникает.

Возражайте.
Относительно странностей образа - это не ко мне.

[EUgeneUS]

Igrickiy(senior) в сообщении #1378988 писал(а):

Возражайте.

Скорее наоборот, Вам нужно доказать (или хотя бы обосновать) "очевидность" сохранения пропорции.

Как обсуждалось выше, нашлось два мыслимых варианта:
1. Сохраняется объем кольца (количество вещества в кольце не изменяется при растяжении).
2. Сохраняется сечение провода (провод сматывается из некоторого запаса)
Оба этих варианта не сохраняют пропорцию $\frac{r}{R}$.

Каким образом кольцо расширяется (может расширяться), сохраняя пропорцию $\frac{r}{R}$ совершенно не ясно, и не очевидно.

[Igrickiy(senior)]

EUgeneUS в сообщении #1378990 писал(а):

Скорее наоборот, Вам нужно доказать (или хотя бы обосновать) "очевидность" сохранения пропорции.

Как обсуждалось выше, нашлось два мыслимых варианта:
1. Сохраняется объем кольца (количество вещества в кольце не изменяется при растяжении).
2. Сохраняется сечение провода (провод сматывается из некоторого запаса)
Оба этих варианта не сохраняют пропорцию $\frac{r}{R}$.

Каким образом кольцо расширяется (может расширяться), сохраняя пропорцию $\frac{r}{R}$ совершенно не ясно, и не очевидно.

Начну с комментария.
Я не рассматриваю свои утверждения как доказательные. Я просто делюсь мыслями и информацией, иногда и очень редко высказывая свое отношение.
Никогда и ничего не доказываю даже ученикам, оставляя вопросы веры или отрицания им самим.
Во сути вопроса.
Мыслимых вариантом немыслимое количество.
Я предложил вариант расширения - пространственная гомотетия с центром в центре исходного колечка со сколь угодно малым радиусом, со сколь угодно малой толщиной провода, но с фиксированным отношением одного размера к другому.
И моё решение выполнено в точном соответствии с этим предположением: предложенная гомотетия сохраняет указанное отношение.
Я даже не обсуждаю вопросы материализации ситуации. Для меня она изначально исключительно гипотетическая.
Мне (подчёркиваю - мне) этого достаточно для ответа на вопрос ТС.
Кто-то согласится, кто-то нет.
Dixi.

[LMA]

EUgeneUS в сообщении #1378990 писал(а):

Каким образом кольцо расширяется (может расширяться), сохраняя пропорцию $\frac{r}{R}$ совершенно не ясно, и не очевидно.

Это может быть тепловое расширение.

[Igrickiy(senior)]

LMA в сообщении #1379003 писал(а):

Это может быть тепловое расширение.

В изначальной постановке задачи столько всяких фокусов, что предположить можно всё, что угодно.
Мне представляется самым рациональным (ничему не противоречащим) поручить все вопросы расширения, поддержания тока на заданном уровне, создания антуража и подсчёта работы демону, например, Максвелла. Можно коту. Например, Шрёдингера, но лучше Чеширскому.
У нас есть несколько голых фактов-условий - сверхпроводящее кольцо, расширение кольца от нуля до некоторого размера, совершение источником тока за время расширения определённой работы, постоянство протекающего тока и последующее расширение кольца с удвоением размера, достигнутого при первичном расширении.
Всё.
Всё дальнейшее - современные ремиксы сказок Шахерезады Шахрияру. Но .... Шахерезада царю трех сыновоей успела подарить.
А здесь?

[dovlato]

Кстати, можно в принципе найти и силу натяжения тонкого кольца $f$.
Пусть полная энергия сохраняется, и пусть сохраняется величина магнитного потока $\Phi$.
Тогда имеем баланс:

$$\frac{d}{dr}\frac{\Phi^2}{2L}dr+f\cdot 2\pi dr=0$$

Отсель

$$f=\frac{I^2}{4\pi}\frac{dL}{dr}$$

В частности, если кольцо очень тонкое, т.е. выполняется неравенство, предложенное выше EUgeneUS

$$\ln{\frac{r}a}\gg 1$$

то можно получить приблизительное равенство

$$f\approx\frac{W}{2\pi r}$$

где $W=L\frac{I^2}2$ - энергия магнитного поля кольца.