Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах

[scwec]

Найдите бесконечную серию решений уравнения $(x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2$ в натуральных числах $x,y,z$ (в тройке числа раличны).

[Edward_Tur]

scwec в сообщении #1377798 писал(а):

Найдите бесконечную серию решений уравнения $(x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2$ в натуральных числах $x,y,z$ (в тройке числа раличны).

$$(x_1,y_1,z_1)=(1,7,3),(x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1})=(y_n,6y_n-x_n,(7y_n-x_n+z_n)/3).$$

[scwec]

1. Разъяснения.
Что имелось в виду. Вместо трех переменных $x,y,z$ введем две переменных $u,v$ таких, что $x=u-2v, y=u+2v, z=u$.
В новых переменных исходное уравнения сводится к уравнению Пелля $u^2-2v^2=1$.
Все решения этого уравнения в натуральных числах $u,v$, как известно, содержатся в последовательности $\{u_n,v_n\}$ при $n=1,2,.....$ и $u_1=3,v_1=2$,
$u_{n+1}=3u_n+4v_n, v_{n+1}=2u_n+3v_n$.
Таким образом получаются рекуррентные формулы для решений исходного уравнения в целых числах.
$x_{n+1}=-y_n, y_{n+1}=x_n+6y_n,z_{n+1}=\frac{x_n+5y_n}{2}$. Беря абсолютные значения, получаем решения в натуральных числах.
Предполагаю, Edward_Tur руководствовался чем-то похожим.

2. Предлагаю в качестве задачи найти 1-параметрическое решение исходного уравнения в рациональных числах $x,y,z$ (числа в тройках различны).

[Andrey A]

scwec в сообщении #1377927 писал(а):

$x=u-2v, y=u+2v, z=u$

У меня получилось
$x_1=7,x_2=41,x_{n+1}=6x_n-x_{n-1}$
$y_1=1,y_2=7,y_{n+1}=6y_n-y_{n-1}$
$z_1=3,z_2=17,z_{n+1}=6z_n-z_{n-1}$, что совпадает с решением Edward_Tur. Но из Ваших подстановок следует $z=(x+y)/2.$ Это должно давать какие-то другие решения.

P.S. А, там просто нужно знак поменять :)

[Andrey A]

scwec в сообщении #1377927 писал(а):

1-параметрическое решение исходного уравнения в рациональных числах $x,y,z$

$x=\dfrac{(r+2)^2-2}{r^2-2},\ y=\dfrac{(r-2)^2-2}{r^2-2},\ z=\dfrac{r^2+2}{r^2-2}.$

[scwec]

Andrey A, это в точности одно из решений, которые имелись в виду. Оно ведь тоже использует переход к $u,v$, которые удовлетворяют уравнению Пелля. Только теперь $u,v$ рациональные.
А вот другое 1-параметрическое решение в рациональных числах $x,y,z$.
$x=r, y=\dfrac{r(r^4-22r^2-7)}{(3r^2-1)^2}, z = \dfrac{r(r^2+5)}{3r^2-1}$
Оно уже использует технику эллиптических кривых и не требует применения переменных
$u,v$, удовлетворяющих уравнению Пелля.
P.S. Что касается трех имеющихся вариантов записи решений исходного уравнения, то я бы назвал их по мере поступления:
- чуть загадочное,
- прямолинейное,
- изящное.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1378103 писал(а):

... $u,v$, удовлетворяющих уравнению Пелля.

Я в целых решал, конечно, исходя из уравнения $(X^2+T^2)(Y^2+T^2)=(Z^2+T^2)^2$; тут уже без Пелля обходимся. Симпатичная задача.

[scwec]

Чуть усложним исходное уравнение. Пусть $(x^2+1)(y^2+1)=(z^2+b^2)^2$, где натуральное $b>1$.
Для этого уравнения найдите:
1) бесконечную серию решений в целых числах $x,y,z$ для $b=2$
2) и 1-параметрическое решение в рациональных числах $x,y,z$ для произвольного $b$.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1378177 писал(а):

... бесконечную серию решений в целых числах $x,y,z$ для $b=2$

$x_0=\ 2,\ x_1=38,x_{n+1}=18x_n-x_{n-1}$
$y_0=-2,y_1=2,\ y_{n+1}=18y_n-y_{n-1}$
$z_0=\ \ 1,z_1=9,\ z_{n+1}=18z_n-z_{n-1}$

А во втором задании без Вашей науки, кажется, не обойтись

[Andrey A]

scwec в сообщении #1378177 писал(а):

... 1-параметрическое решение в рациональных числах $x,y,z$ для произвольного $b$

$x=b^2,y=1/b^2,z=1/b.$
:)

[scwec]

Как и в предыдущем случае можно завести две переменных $u,v$ таких, что $x=bu-(b^2+1)v, y=bu+(b^2+1)v,z=u$.
Тогда $(x^2+1)(y^2+1)-(z^2+b^2)^2=$
$(b^2+1)(u^2-1-v^2-v^2{b^2})(-u^2+u^2{b^2}-2v^2{b^2}-v^2{b^4}-1-v^2+b^2)$,
и, найдя решения уравнения Пелля $u^2-(b^2+1)v^2=1$, найдем решения (не все, конечно, но бесконечную серию) исходного уравнения.
В данном случае уравнение Пелля $u^2-5v^2=1$ решается стандартно.
Теперь, как найти 1-параметрическое решение в рациональных числах для любого $b$.
Легко видеть, что если $u^2-(b^2+1)v^2=1$, то
$u = \dfrac{b^2+1+t^2}{b^2+1-t^2}, v = \dfrac{2t}{b^2+1-t^2}$.
Используя то, что $x=bu-(b^2+1)v, y=bu+(b^2+1)v,z=u$ получаем 1-параметрическое решение для $x,y,z$
$x =\dfrac{b^3+b+bt^2+2tb^2+2t}{b^2+1-t^2}$
$y =\dfrac{b^3+b+bt^2-2tb^2-2t}{b^2+1-t^2}$
$z =\dfrac{b^2+1+t^2}{b^2+1-t^2}$
Сейчас увидел Ваше сообщение с параметризацией.
Но она не подходит, поскольку фиксированное $b$ не может быть параметром.
Т.е. для заданного $b$ переменные $x,y,z$ должны принимать бесконечное число значений в зависимости от некоторого рационального параметра.

[Andrey A]

То есть нуль-параметрическое решение. Всё равно красиво: $(b^4+1)(\dfrac{1}{b^4}+1)=(b^2+\dfrac{1}{b^2})^2.$

[scwec]

Действительно, на вид приятно.
Вернемся к уравнению $(x^2+1)(y^2+1)=(z^2+b^2)^2$.
Переменные $u,v$ для любого $b$ можно выбирать двумя способами.
1. $x=bu-(b^2+1)v, y=bu+(b^2+1)v, z=u$ и этот способ приводит к уравнению Пелля $u^2-(b^2+1)v^2=1$.
2. $x=bu-(-b^2+1)v, y=bu+(-b^2+1)v,z=u$. Сводится к уравнению Пелля $u^2-(b^2-1)v^2=-1$.
Если второе уравнение Пелля имеет целые решения, то для исходного уравнения с $b$ существуют по крайней мере два бесконечных семейства целых решений. Для $b=2$ их нет.
Для некоторых $b$ можно выписать два 1-параметрических рациональных решения, соответствующие двум уравнения Пелля.
Например, для $b=3$:
1) $x=\dfrac{30+3t^2+20t}{-10+t^2}, y=\dfrac{30+3t^2-20t}{-10+t^2}, z = \dfrac{10+t^2}{-10+t^2}$,
2) $x =\dfrac{-40t+56+7t^2}{-8+t^2}, y = \dfrac{8t+8+t^2}{-8+t^2}, z=\dfrac{8-8t+t^2}{-8+t^2}$.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1378395 писал(а):

$u^2-(b^2-1)v^2=-1$.
Не для всех $b$ ... имеет целые решения. В частности, для $b=2$ их нет.

Этому уравнению соответствует нечетный период разложения кв. радикала, но $\sqrt{b^2-1}=b-1,(1,2b-2,)$. Тут период четный, то есть уравнение неразрешимо ни для каких целых $b$. Оно следует также из соображений сравнимости по $\mod 4$: $u,b$ должны быть четны при нечетном $v$, но тогда $b^2-1$ — число вида $4k+3$, и должно содержать простое того же вида в нечетной степени канонического разложения, что противоречит $u^2\equiv -1.$

[scwec]

Andrey A, я внёс в текст небольшие коррективы по поводу решений второго уравнения Пелля.
Конечно, Вы правы, тут целых решений нет.