Гравитация на поверхности астероида.

[С.Мальцев]

Из Вики выписал некоторые физические характеристики астероида Эрос:

Размеры $34{,}4 \times 11{,}2 \times 11{,}2\,km$
Масса $(6{,}69 \pm 0{,}002)\cdot 10^{15}\,kg$
Плотность $2{,}670 \pm 0{,}03\,g/sm^3$
Ускорение свободного падения на поверхности $0{,}0059 \,m/s^2$

Несколько озадачивает последний параметр - ускорение свободного падения на поверхности. Пересчитав по формуле

$g=\frac{GM}{R^2}$

откуда:

$R=\sqrt{\frac{GM}g}$

получаем $R=8{,}7\,km$, что близко к такому радиусу, как если бы (с учётом массы и плотности) астероид имел шарообразную форму. У меня получился шар радиусом около $R=8{,}4\,km$ объёмом около $V=2500\,km^3$. Но ведь астероид-то имеет форму ближе к цилиндрической, чем к шарообразной.

Читаем дальше:

Цитата:

Как известно, гравитация на поверхности обратно пропорциональна расстоянию до центра масс тела, которое у Эроса, так же как и у большинства других астероидов, сильно меняется ввиду их неправильной формы: чем больше радиус (при одинаковой массе), тем меньше гравитация на его поверхности.

Правильно ли понимаю, что если измерить ускорение свободного падения (без вращений) на миделе данного астероида (при $R=5{,}6\,km$), то должно получиться что-то около $g=0{,}014\,m/s^2$? А вот указанное ускорение свободного падения $g=0{,}0059\,m/s^2$ должно быть зарегистрировано в точке, отстоящей от миделя на расстояние около $L=6{,}65\,km$? Причём, ускорение в направлении центра масс?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы и числа (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Астрономия»

-- 25.02.2019, 01:10 --

Вообще говоря, это зависит еще и от распределения плотности в астероиде. По-видимому, в википедии приведено какое-то среднее значение (которое для объектов сложной формы особого смысла - по крайней мере с такой точностью - просто не имеет).

[Munin]

Pphantom
Напомните, кажется, гравитационное поле однородного эллипсоида в курсе ураматов точно считается?

[Geen]

Munin в сообщении #1378256 писал(а):

гравитационное поле однородного эллипсоида

http://www.k-labs.ru/scarb/ellips_new.html - по тексту http://old.kpfu.ru/f6/k8/bin_files/vved ... ial!41.pdf

[Munin]

Я так понял, для эллипсоида вращения интегралы берущиеся, для трёхосного - нет. Так?

[Geen]

Ну да, в элементарных функциях не выражается. Но и для эллипсоида вращения выражение через "элементарные" функции, на мой взгляд, не сильно облегчают жизнь.

[Munin]

Главное, что С.Мальцев-а можно посадить за изучение этого вычисления, в педагогических целях.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1378256 писал(а):

Напомните, кажется, гравитационное поле однородного эллипсоида в курсе ураматов точно считается?

Сфероида (т.е. эллипсоида вращения). Насчет именно урматов сказать не берусь, для меня это элемент другого курса.

Только смысла в этом все равно (в данном случае) никакого. Эрос выглядит так:

Это модель ("глобус", насколько к телу такой формы применимо подобное название), но она хорошо освещена, так что форму можно рассмотреть. Соответственно, с эллипсоидом (тем более однородным) тут все очень плохо.

[С.Мальцев]

Pphantom в сообщении #1378215 писал(а):

Вообще говоря, это зависит еще и от распределения плотности в астероиде. По-видимому, в википедии приведено какое-то среднее значение (которое для объектов сложной формы особого смысла - по крайней мере с такой точностью - просто не имеет).

Если точность такого параметра как ускорение свободного падения особой роли не играет, то каким тогда способом достаточно точно были определены масса и средняя плотность астероида? Ну, положим, объём астероида можно вычислить достаточно точно по фотографиям. А как быть с остальными взаимосвязанными параметрами?

Pphantom в сообщении #1378293 писал(а):

с эллипсоидом (тем более однородным) тут все очень плохо.

Вот именно. Поэтому предлагаю, условно говоря, "раскатать" вещество астероида в правильный однородный цилиндр, пусть с тем же радиусом $R=5{,}6\,km$. У меня получился цилиндр длиной около $L=25{,}4\,km$. И остаются всё те же вопросы:

С.Мальцев в сообщении #1378197 писал(а):

если измерить ускорение свободного падения (без вращений) на миделе данного астероида (при $R=5{,}6\,km$), то должно получиться что-то около $g=0{,}014\,m/s^2$? А вот указанное ускорение свободного падения $g=0{,}0059\,m/s^2$ должно быть зарегистрировано в точке, отстоящей от миделя на расстояние около $L=6{,}65\,km$? Причём, ускорение в направлении центра масс?

Или можно поставить вопрос несколько иначе - вообще применима ли в данном случае тривиальная формула $g=\frac{GM}{R^2}$ для вычисления ускорения свободного падения?

[Pphantom]

С.Мальцев в сообщении #1378359 писал(а):

Если точность такого параметра как ускорение свободного падения особой роли не играет, то каким тогда способом достаточно точно были определены масса и средняя плотность астероида? Ну, положим, объём астероида можно вычислить достаточно точно по фотографиям. А как быть с остальными взаимосвязанными параметрами?

Масса - по гравитационному воздействию на АМС и посадочный модуль, форма - по фотоснимкам и данным лазерного высотомера. После этого плотность тривиально считается.

С.Мальцев в сообщении #1378359 писал(а):

Вот именно. Поэтому предлагаю, условно говоря, "раскатать" вещество астероида в правильный однородный цилиндр, пусть с тем же радиусом $R=5{,}6\,km$. У меня получился цилиндр длиной около $L=25{,}4\,km$.

А смысл?

С.Мальцев в сообщении #1378359 писал(а):

Или можно поставить вопрос несколько иначе - вообще применима ли в данном случае тривиальная формула $g=\frac{GM}{R^2}$ для вычисления ускорения свободного падения?

Для порядковой оценки величины - да. Для получения результата с двумя значащими цифрами - нет.

[Dmitriy40]

Да даже и с одной значащей цифрой - тоже нет.
Можно только на достаточном удалении от поверхности (типа полсотни км), где форму объекта и распределение масс в нём уже можно не учитывать и гравитационное поле уже достаточно сферически симметричное. И чем дальше от астероида - тем точнее будет выполняться формула.

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #1378359 писал(а):

Поэтому предлагаю, условно говоря, "раскатать" вещество астероида в правильный однородный цилиндр

Вы наивно думаете, что цилиндр рассчитать проще, чем эллипсоид? Попробуйте, вас ждёт некое прозрение.

[С.Мальцев]

Dmitriy40 в сообщении #1378363 писал(а):

Можно только на достаточном удалении от поверхности (типа полсотни км), где форму объекта и распределение масс в нём уже можно не учитывать и гравитационное поле уже достаточно сферически симметричное. И чем дальше от астероида - тем точнее будет выполняться формула.

Допустим, но по формуле на таком расстоянии (типа полсотни км) получается что-то около $g=0{,}2\,mm/s^2$. Что-то сильно сомневаюсь, что при таком ускорении, пусть и с помощью лазерного дальномера, возможно с указанной точностью вычислить массу реального астероида. А на небольших расстояниях формула не работает...

-- Пн фев 25, 2019 22:52:32 --

Munin в сообщении #1378371 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #1378359 писал(а):

Поэтому предлагаю, условно говоря, "раскатать" вещество астероида в правильный однородный цилиндр

Вы наивно думаете, что цилиндр рассчитать проще, чем эллипсоид? Попробуйте, вас ждёт некое прозрение.

Ну что Вы, нет, конечно. Тут бы с базовыми представлениями определиться, исключив отговорки в виде ссылок на неоднородность и неправильную форму астероида.

Верно ли моё предположение, что в окрестностях астероида (однородного правильного цилиндра) направление ускорения свободного падения вовсе не обязано соответствовать направлению на центр масс?

[Geen]

С.Мальцев в сообщении #1378409 писал(а):

Верно ли моё предположение, что в окрестностях астероида (однородного правильного цилиндра) направление ускорения свободного падения вовсе не обязано соответствовать направлению на центр масс?

А для эллипсоида соответствует?