Извлечение корня из комплексного числа

[Munin]

Иногда для функций типа $\sqrt[n]{z}$ принимается соглашение, что "главным значением" считается значение на листе, который принимает чисто действительные значения на положительной действительной полуоси, а разрез имеет на отрицательной действительной полуоси. Но это нельзя считать общепринятым. Скорее, это удобно в технических (не теоретических математических) расчётах, чтобы как-то стандартизовать "главные значения".

[Someone]

e7e5 в сообщении #1377931 писал(а):

Подскажите, как получить корни в радикалах - так, как это получается на Вольфраме?

Запись корней в Wolfram Mthematica достаточно невразумительная. Зачем она Вам? Вы же умеете вычислять корни так, как в учебнике. В данном случае значения тригонометрических функций прекрасно выражаются через радикалы (см. школьный учебник), поэтому сразу получаются очень простые и однозначно понимаемые выражения для корней.

[dmd]

Someone в сообщении #1377934 писал(а):

Если Вы думаете, что в ТФКП существуют какие-то соглашения на этот счёт, принимаемые по умолчанию, то Вы ошибаетесь. Никаких "соглашений по умолчанию" в ТФКП нет. Поэтому прежде, чем $\sqrt[3]{-1}$ приобретёт конкретное значение, Вы должны явно указать, какую именно ветвь аналитической функции $\sqrt[3]{z}$ Вы подразумеваете под этим обозначением. Указав, естественно, её границы и значение хотя бы в одной точке

Речь то шла про корни уравнения. Невозможно руководствоваться отсутствием соглашений в ТФКП при получении конкретных корней. Хоть какое-то соглашение должно действовать для практической вычисляемости. И очевидно, что это соглашение действует в большинстве современных CAS. И оно конкретное, т.к. у всех всё одинаково.

[Someone]

dmd в сообщении #1377940 писал(а):

Речь то шла про корни уравнения.

В ТФКП тоже речь идёт про корни уравнения. И они прекрасно вычисляются, причём, совершенно конкретные, и без всяких предварительных "соглашений по умолчанию" относительно ветвей функции $\sqrt[n]{z}$. По формуле Муавра, например.
Но эти конкретные корни переходят друг в друга при обходе нуля. А если фиксировать ветвь и разрез на комплексной плоскости, то на нём будет разрыв.

[GAA]

e7e5 в сообщении #1377891 писал(а):

Решая уравнение, получил в итоге: $z^3=-\sqrt{3}-i$.
...
$|z|=2$, $\varphi=\arctg(\frac {1}{-\sqrt{3}})+\pi=5\pi/6$

Мелкая ошибка. В зависимости от принятого соглашения
$\varphi=\arctg(\frac {1}{\sqrt{3}})+\pi=7\pi/6$ ($0 \le \varphi< 2\pi$)
или
$\varphi=-5\pi/6$ ($-\pi < \varphi \le \pi$, Wolfram)

Wolfram выводит главные значения корней.

mathworld писал(а):

For complex numbers $z$, the root of interest (generally taken as the root having smallest positive complex argument) is known as the principal root. However, for real numbers, the root of interest is usually the root that is real (when it exists).

Отсюда и плясать.

Upd. Ясно, что надо принять некоторую договорённость. Иначе $-\sqrt{3}-i$ (с которого начинается ветка) уже «не будет однозначным числом».

[Munin]

dmd в сообщении #1377940 писал(а):

Хоть какое-то соглашение должно действовать для практической вычисляемости. И очевидно, что это соглашение действует в большинстве современных CAS. И оно конкретное, т.к. у всех всё одинаково.

Вот как раз на практике оказывается, что это "очевидно" - неверно. В разных CAS разные соглашения. Про это уже неоднократно на форуме писали.

GAA в сообщении #1377952 писал(а):

Иначе $-\sqrt{3}-i$ (с которого начинается ветка) уже «не будет однозначным числом».

Это как это?

[GAA]

Munin в сообщении #1377954 писал(а):

Это как это?

У квадратного корня [из 3] будет два значения.

[Mikhail_K]

GAA в сообщении #1377956 писал(а):

У квадратного корня [из 3] будет два значения.

Это арифметический квадратный корень.
Единственное необходимое соглашение - отличать его от комплексного (договориться, в каких случаях значок корня понимается в одном смысле, в каких в другом.)

[GAA]

Mikhail_K в сообщении #1377957 писал(а):

Единственное необходимое соглашение - отличать его от комплексного (договориться, в каких случаях значок корня понимается в одном смысле, в каких в другом.)

Mikhail_K, каким образом?

[Mikhail_K]

GAA в сообщении #1377958 писал(а):

Mikhail_K, каким образом?

Что именно, каким образом? Произвольным.

Там, где существует реальная опасность их спутать, нужно эти два корня просто обозначать по-разному. Потому что это два разных понятия, и одинаково важных. В статье Википедии например придумали обозначать их разным цветом.

В большинстве случаев такое не требуется. Везде, где по смыслу стоит однозначное выражение, и притом арифметический корень существует, нужно понимать так что стоит именно он.

[GAA]

Смысл дело очень тонкое. Надо синтаксис хорошо знать. О незнании синтаксиса и разговор в теме. :)

-- Sat 23.02.2019 16:12:42 --

Причем в обе стороны: и задать задание на вычисление, и понять ответ СКА (или его отсутсвие). :)

[e7e5]

Someone в сообщении #1377902 писал(а):

Геометрический смысл умножения комплексных чисел знаете?

Если первый корень $z_1=(-i-\sqrt{3})^{1/3}$, а $\omega=(-1)^{1/3}$, то второй корень - нужно первый домножить на $\omega$, третий корень - домножить первый на $\omega^2$?

[arseniiv]

Чтобы получить из одного корня другие, умножать надо на корни из единицы ($\exp(2\pi i \frac n3)$), а не из минус единицы ($\exp(\pi i \frac n3) = \exp(2\pi i \frac n6)$ — это будет в два раза больше корней в два раза большей степени, чем надо).

[e7e5]

arseniiv в сообщении #1377990 писал(а):

Чтобы получить из одного корня другие, умножать надо на корни из единицы ($\exp(2\pi i \frac {n}{3})$).

То есть получается:
$z_{2}=\exp(2\pi i/3)(-i-\sqrt{3})$, $z_{3}=\exp(4\pi i/3)(-i-\sqrt{3})$?

[GAA]

e7e5, если вас интересует совпадение Вашего ответа с ответом СКА, то я бы поступил таким образом. Я бы попросил СКА преобразовать ответы к тригонометрической форме. И построил бы свой вариант и ответ СКА на рисунке. Они совпали бы, хотя иногда ответы могут казаться разными. После преобразований (в частности использования «формул приведения» для тригонометрических функций) можно убедиться в совпадении ответов.
Например, пусть на бумажке мои ответы
$\sqrt [3] 2 \exp\left(i(-\frac 5 {18}\pi +\frac {2} {3} \pi k) \right)$, $k = 0,1,2$:
$z_1 = \sqrt [3] 2 \left( \cos \frac {5}{18} \pi - i \sin \frac {5}{18} \pi \right)$,
$z_2 = \sqrt [3] 2 \left( \cos \frac {7}{18} \pi + i \sin \frac {7}{18} \pi \right)$,
$z_3 = -\sqrt [3] 2 \left(\cos \frac {1}{18} \pi + i \sin \frac {1}{18} \pi \right)$,
С другой стороны: $(-\sqrt 3 - i)^{1/3} = z_1$; $-(\sqrt 3 + i)^{1/3} = z_3$
[Upd. Т.е. я бы не свой ответ преобразовывал бы к виду СКА, а ответ СКА преобразовывал бы к своему виду. Так зачастую быстрее получается.]

Если просто нужно найти корни, то можно было попросить Wolfram Alpha так: all+3th+roots+of+-sqrt(3)+-i (и получить ожидаемые значения корней).
Upd. (Если ссылка не будет со временем работать) Система Wolfram Alpha вернула корни: $\sqrt [3] 2 e^{-5 i \pi /18}$, $\sqrt [3] 2 e^{7 i \pi /18}$, $\sqrt [3] 2 e^{-17 i \pi /18}$.