иррациональная обмотка n-мерного тора

[Padawan]

Пусть $a>0$ и числа $x_1, x_2,\ldots, x_n, a$ линейно независимы над $\mathbb Q$. Верно ли что множество $\{(tx_1\mod a, \ldots, t x_n \mod a)\mid t\in\mathbb R\}$ всюду плотно в кубе $[0,a]^n$ ? При $n=2$ это верно и наглядно -- иррациональная обмотка тора. Видимо, надо доказывать по индукции, а как, не могу сообразить. Где-то это в литературе рассмотрено?

[pogulyat_vyshel]

Вас это наверное не устроит. Из общих соображений. В эргодической системе почти все траектории всюду плотны. Эргодичность этой задачи доказывается, например, учебнике Арнольда по классической механике, да наверняка там и всюду плотность доказывается.

[g______d]

1) Докажите, что существует хотя бы одна инвариантная вероятностная мера. Указание: рассмотрите последовательность функционалов

$$ g_N\colon C(\mathbb T^n)\to \mathbb R,\quad g_N(f)=\frac{1}{(2N+1)^n}\sum\limits_{|k_j|\le N}f(\{k_1\alpha_1\},\{k_2\alpha_2\},\ldots,\{k_n\alpha_n\}) $$

и докажите, что у неё есть предельная точка в пространстве мер, являющаяся вероятностной мерой.

2) Посмотрите на коэффициенты Фурье этой меры и докажите, что если $1,\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ независимы над $\mathbb Q$, то эта мера является мерой Лебега.

3) В предположении, что траектории не плотны, возьмите непрерывную функцию с носителем, куда траектория никогда не заходит, и придите к противоречию.

[pogulyat_vyshel]

g______d в сообщении #1377794 писал(а):

) Докажите, что существует хотя бы одна инвариантная вероятностная мера

это банальный факт: $d\varphi_1\wedge\ldots\wedge d\varphi_n$ -- инвариантная мера, $\varphi$ -- стандартные угловые координаты на торе

[g______d]

pogulyat_vyshel в сообщении #1377802 писал(а):

это банальный факт: $d\varphi_1\wedge\ldots\wedge d\varphi_n$ -- инвариантная мера, $\varphi$ -- стандартные угловые координаты на торе

Да, должно было быть дополнительное условие: инвариантная вероятностная мера, являющаяся предельной точкой $\{g_N\}$.

[pogulyat_vyshel]

g______d в сообщении #1377807 писал(а):

должно было быть дополнительное условие:

вообще-то можно иначе рассуждать. достаточно доказать равенство временного и пространственного среднего на множестве непрерывных функций, что сделано у Арнольда. А дальше идем сюда https://dxdy.ru/post1301877.html#p1301877

[g______d]

Можно, меня просто интересовало максимально простое рассуждение, использующее специфику тора. Заодно бесплатно получаем все траектории, а не почти все.

[pogulyat_vyshel]

Ну это уж совсем очевидно, если хотя бы одна траектория плотна так и все плотны

[g______d]

pogulyat_vyshel в сообщении #1377816 писал(а):

Ну это уж совсем очевидно, если хотя бы одна траектория плотна так и все плотны

Ну выше Вы всё-таки употребляли «почти все»:

pogulyat_vyshel в сообщении #1377775 писал(а):

В эргодической системе почти все траектории всюду плотны.

Так что я не знаю, в какой общности это верно.

[pogulyat_vyshel]

g______d в сообщении #1377817 писал(а):

Так что я не знаю, в какой общности это верно.

Это верно для данной конкретной задачи. А выше я ссылался на общий факт.

[g______d]

pogulyat_vyshel в сообщении #1377819 писал(а):

Это верно для данной конкретной задачи.

Да, согласен, здесь все траектории отличаются сдвигом, поэтому верно (и поэтому же более простое рассуждение проходит).

[demolishka]

Если рассматривать обмотку для вещественных $t$, то необходимо (и достаточно) лишь, чтобы $x_{1},\ldots,x_{n}$ были рационально независимы. Про $a$ ничего знать не нужно. Условие на $a$ появляется, когда рассматриваются, например, только целые $t$. Пример: обмотка $(1,\sqrt{2})t, \ t \in \mathbb{R}$, плотна на $\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}$, а дискретная версия $(1,\sqrt{2})k, k \in \mathbb{Z}$, --- нет.

Далее, обмотка $(x_{1},\ldots,x_{n}) t$ плотна на $\mathbb{R}^{n}/a\mathbb{Z}^{n}$ тогда и только тогда когда обмотка $(\frac{x_{1}}{a},\ldots,\frac{x_{n}}{a})t$ плотна на $\mathbb{R}^{n}/\mathbb{Z}^{n}$. Деление на $a$ на рациональную независимость $x_{1},\ldots,x_{n}$ не влияет, поэтому достаточно доказывать плотность иррациональной (рационально независимой) обмотки на $\mathbb{R}^{n}/\mathbb{Z}^{n}$. К сожалению, никакой индукции не получится: плотность обмотки $(x_{1},\ldots,x_{n}) t$ равносильна плотности дискретной обмотки $(\frac{x_{2}}{x_{1}},\ldots,\frac{x_{n}}{x_{1}}) k$, $k \in \mathbb{Z}$. Но при $n>2$ простая идея с принципом Дирихле уже не работает.

Плотность иррациональной обмотки, например, следует из теоремы Кронекера, которая дает необходимые и достаточные условия того, что данная точка $n$-мерного тора может быть приближена траекторией $\textbf{x} t$. В частности, для линейно независимых $x_{1},\ldots,x_{n}$ всякая точка может быть приближена. Доказательство можно посмотреть у Левитана и Жикова "Почти периодические функции и дифференциальные уравнения" на стр. 41. Оно использует аппарат почти периодических функций. "Обычное" доказательство можно поискать где-нибудь в книжках по диофантовым приближениям.

[g______d]

demolishka в сообщении #1377823 писал(а):

Про $a$ ничего знать не нужно.

В том, что я привёл, это тоже вроде не используется: нетривиальный коэффициент Фурье может быть только если $\alpha_1 k_1+\ldots+\alpha_n k_n=0$. Я написал на всякий случай, но не понадобилось.

[demolishka]

pogulyat_vyshel в сообщении #1377811 писал(а):

вообще-то можно иначе рассуждать. достаточно доказать равенство временного и пространственного среднего на множестве непрерывных функций, что сделано у Арнольда.

Почти это g______d и предлагает. Другими словами, показать, что мера Лебега является единственной эргодической (в смысле сходимостей средних для непрерывных функций) мерой. А дальше собственно воспользоваться наблюдением про всюду плотность траекторий эргодической системы. Только я не понял почему рассматривается такой функционал

g______d в сообщении #1377794 писал(а):

$$ g_N\colon C(\mathbb T^n)\to \mathbb R,\quad g_N(f)=\frac{1}{(2N+1)^n}\sum\limits_{|k_j|\le N}f(\{k_1\alpha_1\},\{k_2\alpha_2\},\ldots,\{k_n\alpha_n\}) $$

т. е. временное среднее системы с многомерным временем и почему это вроде как дает то же самое (или не то же?). Как по мне следовало бы рассматривать временные средние:

$$g_{N}(f) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} f(\alpha_{1}k,\ldots,\alpha_{n}k).$$

Собственно в том, что мера Лебега инвариантна - проблем нет. А вот это

g______d в сообщении #1377794 писал(а):

$1,\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ независимы над $\mathbb Q$

существенно влияет на ее эргодичность и всюду плотность траекторий.

g______d в сообщении #1377826 писал(а):

В том, что я привёл, это тоже вроде не используется:

Вот это странно. Или не странно, потому что Вы рассматриваете не обмотку $(\alpha_{1} k , \ldots , \alpha_{n} k)$, а систему с многомерным временем $(\alpha_{1} k_{1}, \ldots, \alpha_{n} k_{n})$, а здесь всюду плотность очевидна при предположениях иррациональности каждого $\alpha_{j}$.

pogulyat_vyshel в сообщении #1377811 писал(а):

А дальше идем сюда post1301877.html#p1301877

Только вот из совпадения временных и пространственных средних для непрерывных функций не следует совпадения для функций из $L^{1}$, а Ваше доказательство там существенно это использует (берется индикатор измеримого множества). Поэтому для применения этих рассуждений придется доказывать эргодичность в том смысле, в каком она используется в теореме Биркгофа. Причем в эргодической теореме Биркгофа "почти все" (причем в зависимости от рассматриваемой функции) указаны не просто так. Я долгое время думал, что теорема Вейля для поворотов окружности следует из эргодической теоремы Биркгофа, ну просто потому что поворот линеен и там почти все или все не имеет значения. Так вот нет. Уже для поворотов окружности сходимость временных и пространственных средних для индикаторов счетных объединений/пересечений отрезков может не иметь места (т. е. можно построить такой поворот на угол $\alpha$ и для него найдется такое множество и такая точка, что для орбиты этой точки и соответствующего индикатора не выполнена сходимость).

[g______d]

demolishka в сообщении #1377863 писал(а):

Как по мне следовало бы рассматривать временные средние:

$$g_{N}(f) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} f(\alpha_{1}k,\ldots,\alpha_{n}k).$$

Вы правы, я какую-то вообще ерунду написал. Интересно, можно ли это исправить. Думаю.

-- Пт, 22 фев 2019 17:02:39 --

Вроде так же можно, давайте рассмотрим тор и отождествим его с $[0,1)^n$, и рассмотрим отображение $x:=(x_1,\ldots,x_n)\mapsto (\{x_1+\alpha_1\},\{x_2+\alpha_2\},\ldots,\{x_n+\alpha_n\})=:Tx$.

Допустим, мы рассматриваем обмотку для целых $t$ и предполагаем независимость $1,\alpha_1,\ldots,\alpha_n$.

Рассмотрим какую-нибудь меру $\mu$, являющуюся предельной точкой последовательности функционалов в $w^*$ топологии на $C(\mathbb T^n)'$

$$ g_N(f)=\frac{1}{2N+1}\sum_{|k|\le N}f(T^k x). $$

Какую именно точку $x$ взять в качестве начальной -- не важно, зафиксируем. Заметим, что все $g_N$ являются мерами, имеют норму $1$, единичный шар компактен. Поскольку меры вероятностные, предельная точка тоже будет вероятностной (применили функционал к константной функции; таким образом, исключили случай тривиального предела), инвариантность тоже очевидна из сравнения формул для $x$ и $Tx$, там всё сокращается кроме двух слагаемых, которые очевидно стремятся к нулю.

Пусть

$$ \mu=\sum\limits_{m\in \mathbb Z^n} c_m e^{2\pi i m\cdot x}. $$

Сумма понимается в слабом смысле.

$$ T^*\mu=\sum\limits_{m\in \mathbb Z^n} e^{2\pi i m\cdot\alpha} c_{m}e^{2\pi i m\cdot x}. $$

Из единственности ряда Фурье получаем, что $\mu$ совпадает с вероятностной мерой Хаара (так правильнее говорить, перед этим я назвал её мерой Лебега), потому что нетривиальный коэффициент Фурье должен удовлетворять $m\cdot\alpha\in \mathbb Z$.

Случай с вещественным $t$, по-видимому, получается отсюда масштабированием -- хотя мне кажется, он может быть проще.

А, забыл сказать, что доказательство основного утверждения (плотность) точно такое же: если траектория не заходит в какой-то шар, то получаем противоречие, взяв функцию с носителем в этом шаре и вычисляя её интеграл по мере $\mu$ двумя способами.