Задача про звезды.

[Pphantom]

Geen в сообщении #1376412 писал(а):

Где-то двойка "лишняя"... а то и две.

Именно две.

[pogulyat_vyshel]

Что-то у меня эти разговоры вызывают какие-то смутные подозрения. У меня получилось вот что

$$m=\frac{V^2\Big(1-\frac{l^2}{r^2}\sin^2\alpha\Big)}{4G\Big(\frac{1}{l}-\frac{1}{r}\Big)},\quad V=V_1+V_2$$

формула верна в предположении $0<\alpha<\pi/2$ и $V>0$

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376396 писал(а):

Вам, ведь, придется объяснять, почему звезды не могут столкнуться.

А зачем? Если момент максимального сближения рассчитывается, то ещё ближе они сойтись не могут, очевидно.

pogulyat_vyshel в сообщении #1376406 писал(а):

И наконец, решать задачи на проблему двух тел раньше задачи Кеплера -- это методическая дикость, и ни в одном учебнике так не делают.

Немножко наоборот. Сначала задачу двух тел рассматривают в общем виде, а потом в частном случае Кеплера. Это везде в учебниках механики.

[Pphantom]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376501 писал(а):

Что-то у меня эти разговоры вызывают какие-то смутные подозрения. У меня получилось вот что

Да, правильно. И из выражений ТС получится то же самое, если правильно записать потенциальную энергию.

[pppppppo_98]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376396 писал(а):

Вам, ведь, придется объяснять, почему звезды не могут столкнуться. Из тех формул, что я написал, это следует тривиально: достаточно подставить $\dot\varphi$ из интеграла площадей в интеграл энергии. Любопытно будет посмотреть как вы с этой задачей справитесь, не используя данного формализма.

это следует без всяких формул - из закона сохранения момента...

[pogulyat_vyshel]

pppppppo_98 в сообщении #1376532 писал(а):

это следует без всяких формул - из закона сохранения момента...

Не следует. Этот вопрос в более продвинутой версии уже обсуждался
https://dxdy.ru/topic130182.html

[Geen]

А в потенциале по типу ОТО, например, это и не верно.

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376536 писал(а):

Не следует. Этот вопрос в более продвинутой версии

В продвинутой - не следует. В системе из двух частиц - следует.

[Pphantom]

Ну вообще-то в условии сказано, что "наименьшее расстояние, на которое они могут сойтись, равно $r$", что позволяет этот вопрос при решении задачи не обсуждать. При этом получаемый результат сойдет и для случая $r=0$.

[pogulyat_vyshel]

Pphantom в сообщении #1376546 писал(а):

При этом получаемый результат сойдет и для случая $r=0$.

Не сойдет. При получении результата использовалось, что в тот момент времени, когда расстояние минимально будет $\dot r=0$. Если минимальное расстояние 0 то это соображение уже не работает.

Что касается утверждений, что отсутствие столкновений следует из закона сохранения момента импульса, то это просто смешно. Величина момента импульса это с точностью до умножения на константу интеграл площадей $r^2\dot\varphi$. Возьмем $\dot\varphi=1/(1-t)^2$ и $r=1-t$. Имеем $r^2\dot\varphi=1$ и $r\to 0$ при $t\to 1-$

[Pphantom]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376547 писал(а):

Не сойдет. При получении результата использовалось, что в тот момент времени, когда расстояние минимально будет $\dot r=0$. Если минимальное расстояние 0 то это соображение уже не работает.

Результат-то сойдет. А вот вывод, пожалуй, действительно не совсем, тут вы правы.

pogulyat_vyshel в сообщении #1376547 писал(а):

Что касается утверждений, что отсутствие столкновений следует из закона сохранения момента импульса, то это просто смешно.

И да, и нет. С одной стороны, формально это действительно не так. С другой - это таки действительно очевидно всем участникам беседы, кроме вас. В общем, как я уже писал, не надо подходить к физическим задачам с математическими мерками строгости, из этого редко когда проистекает что-либо полезное.

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376547 писал(а):

Что касается утверждений, что отсутствие столкновений следует из закона сохранения момента импульса, то это просто смешно.

Более строго: из закона сохранения момента импульса следует превращение задачи в "эффективную одномерную" с центробежным потенциалом. А уже из центробежного потенциала в частном случае ньютоновского / кулоновского потенциала / кеплеровской задачи - следует отсутствие падения на центр.

Непонятно, почему уважаемый pogulyat_vyshel решил вдруг об этом "забыть".

[WBTB]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376501 писал(а):

Что-то у меня эти разговоры вызывают какие-то смутные подозрения. У меня получилось вот что

$$m=\frac{V^2\Big(1-\frac{l^2}{r^2}\sin^2\alpha\Big)}{4G\Big(\frac{1}{l}-\frac{1}{r}\Big)},\quad V=V_1+V_2$$

формула верна в предположении $0<\alpha<\pi/2$ и $V>0$

У меня получился ответ такой же, как и у вас. Я рассмотрела систему центра масс. В системе ЦМ звезды будут двигаться с одинаковой скоростью $V=(V_1+V_2)/2$, а сам центр масс будет двигаться со скоростью $V_{цм}=(V_2-V_1)/2$ (Я полагала, что изначально скорость $V_2>V_1$. Затем полагаю, что система замкнута, поэтому должен выполняться закон сохранения момента импульса, т.е $2mV\frac{l}{2}\sin{\alpha}=2mV'\frac{r}{2}.$, где $V'$ - скорость в момент максимального сближения. (Тут я только не уверена, точно ли скорости будут одинаковы в момент максимального сближения). Далее записываю закон сохранения энергии для начального момента и момента максимального сближения, откуда аккурат получаю вашу формулу.

[Pphantom]

WBTB в сообщении #1377401 писал(а):

Тут я только не уверена, точно ли скорости будут одинаковы в момент максимального сближения

В системе центра масс суммарный импульс системы обязан равняться нулю, так что в ней скорости всегда будут равны по модулю и противоположны по направлению, а не только в момент максимального сближения.