Задача про звезды.

[WBTB]

Две одинаковые звезды, движущиеся со скоростями $V_1$ и $V_2$, лежащими в одной плоскости и составляющими угол $\alpha$ с линией, их соединяющей, находятся на расстоянии $l$ друг от друга. Найдите массу звезды, если известно, что наименьшее расстояние, на которое они сближаются в процессе движения, равно $r$.

[pogulyat_vyshel]

ну это же просто задача двух тел. она сводится к задаче Кеплера, два первых интеграла, приведенный потенциал. просто учебная задача

[WBTB]

Задачу предлагается решить переходом к центру масс системы. Подразумевается, что у решающего нет сведений о задаче Кеплера и интегралах движения. Итак, если перейти в систему центра масс (ЦМ), то начальное расстояние до ЦМ будет равно $l/2$, а минимальное $r/2$. В замкнутой системе выполняется закон сохранения момента импульса, т.е. $mV_c\frac{l}{2}\sin{\alpha}=mV_c'\frac{r}{2}$, где $V_c=\frac{V_1+V_2}{2}, V_c'$ - скорость при максимальном сближении. Из закона сохранения момента импульса можно найти $V_c'$. Затем предлагается рассмотреть закон сохранения энергии. На этом моменте появляются вопросы насчет правильного написания. В общем виде он выглядит так: $\frac{mV_c^2}{2}-\frac{Gm^2}{l/2}=\frac{mV_c'^2}{2}-\frac{Gm^2}{r/2}$. Вопрос состоит в том, масса здесь должна стоять искомая, или необходимо подставить сюда $m_c=m+m$ вместо просто $m$ в ЗСЭ?

[pogulyat_vyshel]

А, ну-ну:)

[Pphantom]

WBTB в сообщении #1376058 писал(а):

В общем виде он выглядит так: $\frac{mV_c^2}{2}-\frac{Gm^2}{l/2}=\frac{mV_c'^2}{2}-\frac{Gm^2}{r/2}$. Вопрос состоит в том, масса здесь должна стоять искомая, или необходимо подставить сюда $m_c=m+m$ вместо просто $m$ в ЗСЭ?

А почему, собственно, тут может появиться суммарная масса двух звезд?

[WBTB]

Pphantom в сообщении #1376065 писал(а):

WBTB в сообщении #1376058 писал(а):

В общем виде он выглядит так: $\frac{mV_c^2}{2}-\frac{Gm^2}{l/2}=\frac{mV_c'^2}{2}-\frac{Gm^2}{r/2}$. Вопрос состоит в том, масса здесь должна стоять искомая, или необходимо подставить сюда $m_c=m+m$ вместо просто $m$ в ЗСЭ?

А почему, собственно, тут может появиться суммарная масса двух звезд?

В ЗСЭ я подставила скорость не отдельной планеты, а относительного движения. При этом никаких изменений в массе при в ЗСЭ при переходе к ЦМ не должно происходить? Сомнения вызваны тем, что если найти массу из того, что я написала выше, то она получается отрицательная.

[Pphantom]

WBTB в сообщении #1376069 писал(а):

В ЗСЭ я подставила скорость не отдельной планеты, а относительного движения.

Вообще-то вы подставили туда нечто странное, не имеющее конкретного смысла. Может быть, стоит вспомнить, что скорости - величины векторные?

Ну а потом подумать, что именно надо подставлять в ЗСЭ и почему.

[pogulyat_vyshel]

Задача хорошая, вполне себе учебная, но ,конечно ,не для школы. И вроде уже начинает гулять по сети:) Выложу набросок решения.

Через $\boldsymbol r_2$ обозначим радиус-вектор нижней (на рисунке) массы, а через $\boldsymbol r_1$ -- верхней. Уравнения движнежения следующие:

$$\boldsymbol{\ddot r_1}=-\frac{Gm}{|\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2|^3}(\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2),\quad \boldsymbol{\ddot r_2}=\frac{Gm}{|\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2|^3}(\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2).$$

Вычитая из одного уравнения другое, находим

$$\boldsymbol{\ddot r}=-\frac{2Gm}{|\boldsymbol r|^3}\boldsymbol r,\quad \boldsymbol r=\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2.$$

Это в точности дифференциальное уравнение задачи Кеплера. Переходя в полярные координаты, получаем интегралы движения

$$\frac{1}{2}(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2)-\frac{2Gm}{r}=h,\quad r^2\dot\varphi=c.$$

Константы интегралов $c,h$ ищутся из начальных условий

$$\boldsymbol {\dot r}=(\dot r\boldsymbol e_r+r\dot\varphi\boldsymbol e_\varphi)\Big|_{t=0}=\boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2,\quad r(0)=l,$$

где

$$\boldsymbol v_1=V_1(-\cos\alpha\boldsymbol e_r+\sin\alpha \boldsymbol e_\varphi),\quad \boldsymbol v_2=-V_2(-\cos\alpha\boldsymbol e_r+\sin\alpha \boldsymbol e_\varphi).$$

[WBTB]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376286 писал(а):

Задача хорошая, вполне себе учебная, но ,конечно ,не для школы. И вроде уже начинает гулять по сети:) Выложу набросок решения.

Через $\boldsymbol r_2$ обозначим радиус-вектор нижней (на рисунке) массы, а через $\boldsymbol r_1$ -- верхней. Уравнения движнежения следующие:

$$\boldsymbol{\ddot r_1}=-\frac{Gm}{|\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2|^3}(\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2),\quad \boldsymbol{\ddot r_2}=\frac{Gm}{|\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2|^3}(\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2).$$

Вычитая из одного уравнения другое, находим

$$\boldsymbol{\ddot r}=-\frac{2Gm}{|\boldsymbol r|^3}\boldsymbol r,\quad \boldsymbol r=\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2.$$

Это в точности дифференциальное уравнение задачи Кеплера. Переходя в полярные координаты, получаем интегралы движения

$$\frac{1}{2}(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2)-\frac{2Gm}{r}=h,\quad r^2\dot\varphi=c.$$

Константы интегралов $c,h$ ищутся из начальных условий

$$\boldsymbol {\dot r}=(\dot r\boldsymbol e_r+r\dot\varphi\boldsymbol e_\varphi)\Big|_{t=0}=\boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2,\quad r(0)=l,$$

где

$$\boldsymbol v_1=V_1(-\cos\alpha\boldsymbol e_r+\sin\alpha \boldsymbol e_\varphi),\quad \boldsymbol v_2=-V_2(-\cos\alpha\boldsymbol e_r+\sin\alpha \boldsymbol e_\varphi).$$

Спасибо, что смогли уделить время на задачу. Если я правильно поняла, то задача Кеплера находит именно интегралы движения (траектории объектов). Мне дали подсказку, что необходимо рассматривать законы сохранения и через них получать массу. У вас нет никаких мыслей насчет законов сохранения?

[Pphantom]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376286 писал(а):

Задача хорошая, вполне себе учебная, но ,конечно ,не для школы.

Для приличного физмата - вполне учебная. Для олимпиад по физике (и тем более по астрономии) - абсолютно стандартная, как и для первого семестра первого курса.

И, да, поскольку ТС знает про законы сохранения энергии и момента импульса, не стоит пугать его интегралами движения и задачей Кеплера. Ему известно все необходимое, более наукообразные названия для решеняи совершенно не нужны.

[pogulyat_vyshel]

Pphantom в сообщении #1376302 писал(а):

И, да, поскольку ТС знает про законы сохранения энергии и момента импульса, не стоит пугать его интегралами движения и задачей Кеплера. Ему известно все необходимое, более наукообразные названия для решеняи совершенно не нужны.

Да, да , конечно. Вам, ведь, придется объяснять, почему звезды не могут столкнуться. Из тех формул, что я написал, это следует тривиально: достаточно подставить $\dot\varphi$ из интеграла площадей в интеграл энергии. Любопытно будет посмотреть как вы с этой задачей справитесь, не используя данного формализма.

-- 16.02.2019, 12:18 --

Там и другие грабли есть , но это пока замнем, а то будет неинтересно

[Pphantom]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376396 писал(а):

Да, да , конечно. Вам, ведь, придется объяснять, почему звезды не могут столкнуться.

pogulyat_vyshel, не стоит решать физические задачи, подходя к ним с математическими мерками строгости. В частности, можно быть совершенно уверенным, что если ТС специально займется доказательством данного факта, принимающий задачу человек будет удивлен и скорее раздосадован, нежели обрадован.

То, что вы хотите, напоминает требование к второкласснику, которому нужно сосчитать $3 \times 4$, аккуратно доказать единственность полученного им ответа. В принципе осмысленное, но совершенно не нужное не только во втором классе школы, но и в последующем использовании таблицы умножения у 99% людей.

[pogulyat_vyshel]

Pphantom в сообщении #1376399 писал(а):

То, что вы хотите, напоминает требование к второкласснику,

Решать эту задачу в школе предлагали вы, а я сразу сказал, что она не школьная. Едем дальше, вот вы пишите:

Pphantom в сообщении #1376302 писал(а):

И, да, поскольку ТС знает про законы сохранения энергии и момента импульса, не стоит пугать его интегралами движения и задачей Кеплера Ему известно все необходимое, более наукообразные названия для решеняи совершенно не нужны.

но это странно: два уравнения на как минимум три неизвестных: масса планеты и скорости планет в момент максимального сближения. Придется еще какие-то левые соображения привлекать. Наверное скорости в осях Кенига рассматривать и что-то там про них изобретать типа из физических соображений. И не провраться с интегралом энергии в связи с двумя системами координат.
И наконец, решать задачи на проблему двух тел раньше задачи Кеплера -- это методическая дикость, и ни в одном учебнике так не делают.

[Pphantom]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376406 писал(а):

Решать эту задачу в школе предлагали вы, а я сразу сказал, что она не школьная.

Ну мало ли что вы сказали. Она отлично решается школьными методами и по уровню не выходит за рамки физматшкольной или типовой олимпиадной. Собственно, ТС во втором своем сообщении уже все сделал, осталось закрыть один тривиальный вопрос (который и возникать-то не должен был).

pogulyat_vyshel в сообщении #1376406 писал(а):

но это странно: два уравнения на как минимум три неизвестных: масса планеты и скорости планет в момент максимального сближения.

А что, сразу же перейти в барицентрическую систему отсчета, после чего скорости звезд в любой момент времени равны друг другу - это сложно?

pogulyat_vyshel в сообщении #1376406 писал(а):

И наконец, решать задачи на проблему двух тел раньше задачи Кеплера -- это методическая дикость, и ни в одном учебнике так не делают.

В ВУЗовских - да, не делают. Но, еще раз повторяю, тут это стрельба из пушки по воробьям.

[Geen]

WBTB в сообщении #1376069 писал(а):

Сомнения вызваны тем, что если найти массу из того, что я написала выше, то она получается отрицательная.

Где-то двойка "лишняя"... а то и две.