Четность и нечетность

[Stensen]

Доброго времени суток. Помогите утвердиться в мысли. Имеет ли уравнение $x^4-5x^2-2011=0$ четные или нечетные корни?

Понимаю так, что речь идет о целых корнях? Перепишем:

$x^2(x^2-5)=2011$. Очевидно $x^2$ и $x^2-5$ имеют разную четность, поэтому их произведение не может быть нечетным числом, т.е ни четных или ни нечетных и, соответственно, целых решений у этого уравнения нет? Верно?

[wrest]

Stensen
$2011$ - простое число, ващета (это так, на будущее) :)

Возможно, имелись в виду корни четной и\или нечетной кратности?

Четная/нечетная кратность корня - этого когда имеется четное/нечетное количество равных (одинаковых) корней. Например $(x-1)^3=0$, тут $x=1$ корень кратности $3$, то есть нечетной кратности.

[Aritaborian]

wrest в сообщении #1376882 писал(а):

$2011$ - простое число, ващета (это так, на будущее)

Замечательная подколка. Но давайте возьмём вместо 2011 наше сегодняшнее непростое 2019 и перенесём все рассуждения на него. По мне, так всё верно.
И нет, ни о какой кратности корней тут речи, ИМХО, не идёт, это вы перемудрили.

[gris]

Уравнение в целых числах можно решать в сравнениях по некоторому модулю. Это часто помогает. Но, по-моему, обычно не говорят "чётный корень", а " корнем уравнения является чётное число"; "очевидно, что нечётное число не может быть корнем уравнения" и т.п.
Можно, например, рассмотреть делимость частей на $3: n^3-n=2018$.
У школьников есть чёткие ассоциации со словами чётный и корень: корень четной или нечетной степени и упомянутый корень чётной кратности, на котором знак не меняют. Бывают нелепые заблуждения.

[Stensen]

В оригинале вот так:

[wrest]

Stensen в сообщении #1376889 писал(а):

В оригинале вот так:

Ну так а чего вы спрашивали -- сомневались, что четное/нечетное число это только целое?

[Stensen]

Всем спасибо