Конфигурационное пространство

[pogulyat_vyshel]

Тривиальное замечание, но может оказаться неожиданным.



Тонкий обруч массы $M$ может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, на обруч надето маленькое колечко массы $m>0$, которое свободно скользит по обручу.

Что представляет собой конфигурационное пространство данной системы? Если $M>0$ то это тор $\mathbb{T}^2$; если $M=0$ то двумерная сфера $\mathbb{S}^2$

[Munin]

Ещё более тривиальное замечание, которое может оказаться ещё более неожиданным.
В случае, если $M=0,$ если покрасить правую или левую половину обруча, конфигурационное пространство внезапно удваивается.

[Red_Herring]

Тут возникают два вопроса.

1) Чем не нравится $\mathbb{T}^2$ при $M=0$? Ответ: тем, что тогда квадратичная форма кинетической энергии будет вырождаться при $m$ в самом верхнем/нижнем положении

2) Как рассмотреть случай $M\to 0$ (т.е. асимптотику решения)

Не говоря уже о третьем вопросе : квантовании для всех $M\ge 0$.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1376587 писал(а):

Чем не нравится $\mathbb{T}^2$ при $M=0$? Ответ: тем, что тогда квадратичная форма кинетической энергии будет вырождаться при $m$ в самом верхнем/нижнем положении

Это так, однако определение конфигурационного многообразия не ссылается на кинетическую энергию.

Red_Herring в сообщении #1376587 писал(а):

Как рассмотреть случай $M\to 0$ (т.е. асимптотику решения)

Думаю, что ни как. Пусть силы тяжести нет. В каждом гомотопическом классе замкнутых кривых на торе имеется траектория нашей системы. Т.е. имеется периодическое решение , такое, что за период точка $m$ 10 раз прокручивается по обручу, а сам обруч прокручивается 13 раз. Что соответствует этому решению в задаче о движении точки по сфере по инерции ? Думаю, ничего не соответствует.

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376591 писал(а):

Что соответствует этому решению в задаче о движении точки по сфере по инерции ? Думаю, ничего не соответствует.

Точка $m$ может 10 раз прокрутиться по обручу, проходя через верхние и нижние положения, а в моменты прохождения этих положений обруч может за нулевое время совершить недостающие полуобороты.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376591 писал(а):

Это так, однако определение конфигурационного многообразия не ссылается на кинетическую энергию.

Разумеется, но нужна мотивировка, почему мы не используем тор при $M=0$.

-- 17.02.2019, 05:43 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1376591 писал(а):

Что соответствует этому решению в задаче о движении точки по сфере по инерции ?

Я имел в виду нечто другое: при $M>0$ конфигурационное пространство это тор. Как на этом торе ведет себя соответствующая траектория при малом, но ненулевом $M$?

[warlock66613]

Red_Herring в сообщении #1376587 писал(а):

тем, что тогда квадратичная форма кинетической энергии будет вырождаться при $m$ в самом верхнем/нижнем положении

... а такое вырождение указывает на наличие связей, а эти связи приводят к превращению тора в сферу. Я правильно понял?

[Red_Herring]

warlock66613 в сообщении #1376597 писал(а):

... а такое вырождение указывает на наличие связей, а эти связи приводят к превращению тора в сферу. Я правильно понял?

думаю, то нет: какие связи вдруг появляются при $M=0$?

[pogulyat_vyshel]

Вырождение пожет быть вызвано тем, что в данной точке просто неопределены данные локальные координаты. Сменим локальные координаты и вырождение пропадет

-- 17.02.2019, 15:06 --

Хотя конечно сравнивать локальные координаты и метрики на разных многообразиях -- странное занятие

[Red_Herring]

Кинетическая энергия:

$$ c_1 m (\dot{\theta}^2 + \sin^2(\theta)\dot{\phi}^2) + c_2 M \dot{\phi}^2 $$

с положительными $c_1,c_2$, $\theta,\phi $ циклические с периодом $2\pi$

[pogulyat_vyshel]

Метрика кинетической энергии задачи на сфере невырождена и метрика кинетической энергии задачи на торе невырождена. Просто это разные метрики на разных многообразиях.

[Munin]

Всё больше и больше впечатление, что вот это

pogulyat_vyshel в сообщении #1376576 писал(а):

если $M=0$ то двумерная сфера $\mathbb{S}^2$

банально неправда.

[warlock66613]

Red_Herring в сообщении #1376602 писал(а):

какие связи вдруг появляются при $M=0$?

Действительно, проверил - не появляются.

Тогда я понимаю так: при $\theta = 0$ скорость вращения обруча становится бесконечной, соответственно значение $\varphi$ теряет смысл. В этом суть?

[Red_Herring]

warlock66613 в сообщении #1376614 писал(а):

Тогда я понимаю так: при $\theta = 0$ скорость вращения обруча становится бесконечной, соответственно значение $\varphi $ теряет смысл. В этом суть?

И при $\theta=\pi$. Речь идет о случае $M=0$. При $M>0$ такого не происходит.

[Ruslan_Sharipov]

Munin в сообщении #1376610 писал(а):

Всё больше и больше впечатление, что если $M=0$, то конфигурационное пространство - двумерная сфера $\mathbb{S}^2$, - банально неправда.

Ну как же? Все положения точки, движущейся по окружности, которая может вращаться вокруг вертикальной оси, сохраняя неподвижным центр окружности, - это в точности сфера $\mathbb{S}^2$. Никакие ограничения не стесняют движение точки по этой сфере.